[原创]新人教B版高中数学2012年高考数学第一轮复习各个知识点攻破3-2等差数列

Copyright2004-2009版权所有盗版必究•第二节等差数列Copyright2004-2009版权所有盗版必究Copyright2004-2009版权所有盗版必究考纲要求1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，并能运用公式解决一些简单的实际问题．考试热点1.以选择题或填空题的形式考查等差数列的基本运算．2.以考查等差数列的通项公式及性质为主，同时考查等差数列的函数性.Copyright2004-2009版权所有盗版必究Copyright2004-2009版权所有盗版必究•1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示，定义的表达式为(n∈N*)．公差an＋1－an＝ddCopyright2004-2009版权所有盗版必究2．如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a、b的，且.a、A、b成等差数列是A＝a＋b2的条件．3．等差数列的通项公式为.4．等差数列的前n项和公式为或Sn＝.等差中项充要Copyright2004-2009版权所有盗版必究•5．对于正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，则等差数列中am、an、ap、aq的关系为.•6．等差数列的通项是关于正整数n的函数(d≠0)，(n，an)是直线上的一群孤立的点，an＝an＋b(a、b是常数)是{an}成等差数列的条件．am＋an＝ap＋aq一次充要Copyright2004-2009版权所有盗版必究•7．等差数列{an}的首项是a1，公差为d，若其前n项和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝，B＝，当d≠0时它表示函数．•8．数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件．•9．等差数列的增减性•d0时为数列，且当a10时前n项和Sn有最值．•d0时为数列，且当a10时前n项和Sn有最值．二次小大递增递减Copyright2004-2009版权所有盗版必究•1．在等差数列{an}中，已知a3＝2，则该数列的前5项之和为()•A．10B．16•C．20D．32答案：ACopyright2004-2009版权所有盗版必究•2．如果数列{an}是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项是()•A．1B．2•C．4D．6答案：BCopyright2004-2009版权所有盗版必究3．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y－3＝0上，则an＝________.答案：3n2Copyright2004-2009版权所有盗版必究•4．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的项的值是________．答案：－2Copyright2004-2009版权所有盗版必究5．设实数a≠0，且函数f(x)＝a(x2＋1)－(2x＋1a)有最小值－1.(1)求a的值；(2)设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)，令bn＝a2＋a4＋…＋a2nn，n＝1,2,3，…，证明{bn}成等差数列．Copyright2004-2009版权所有盗版必究(2)证明：由(1)知f(x)＝x2－2x，∴Sn＝n2－2n，a1＝S1＝－1.又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－1当n＝1时符合上式，∴an＝2n－1∴{an}是首项为－1，公差为2的等差数列．a2＋a4＋…＋a2n＝n(2n－1)，即bn＝2n－1，显然{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．Copyright2004-2009版权所有盗版必究Copyright2004-2009版权所有盗版必究[例1](2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．Copyright2004-2009版权所有盗版必究[解](1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，d≠0.由a22＋a23＝a24＋a25知2a1＋5d＝0.①又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，Sn＝n(a1＋an)2＝n2－6n.(2)因为amam＋1am＋2＝(am＋2－4)(am＋2－2)am＋2＝am＋2－6＋8am＋2为数列{an}中的项，故8am＋2为整数，又由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.Copyright2004-2009版权所有盗版必究[拓展提升]利用方程思想，通过题设条件建立方程组，求出等差数列的最基本元素a1和d，是求解数列通项公式an和前n项和Sn的常见解法．第(2)问的命题思路涉及分式的整除性，让人联想到2007年的一道湖北高考题：“已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的n的个数是________，”解题方法都是通过分离分子来研究能够整除时的整数解．求解这类问题，分离分子是解题的一般方法，落脚点是对数、式讨论整除．Copyright2004-2009版权所有盗版必究•(2009·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.答案：24Copyright2004-2009版权所有盗版必究[例2]已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．Copyright2004-2009版权所有盗版必究[解](1)∵an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1.∴当n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52.∴数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列．Copyright2004-2009版权所有盗版必究(2)由(1)知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7.由函数f(x)＝1＋22x－7，易知f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内为减函数．∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.Copyright2004-2009版权所有盗版必究•[拓展提升]判断一个数列不是等差数列时，只需举出特殊的连续三项不成等差数列就可以了．Copyright2004-2009版权所有盗版必究(2009·湖南百校联考)数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，已知a3＝95.(1)求a1，a2；(2)是否存在一个实数t，使得bn＝13n(an＋t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．Copyright2004-2009版权所有盗版必究解：(1)当n＝2时，a2＝3a1＋32－1.当n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95，∴a2＝23，∴23＝3a1＋8，∴a1＝5.(2)当n≥2时，bn－bn－1＝13n(an＋t)－13n－1(an－1＋t)＝13n(an＋t－3an－1－3t)＝13n(3n－1－2t)＝1－1＋2t3n，要使{bn}为等差数列，则必须使1＋2t＝0，∴t＝－12，即存在t＝－12，使{bn}为等差数列．Copyright2004-2009版权所有盗版必究[例3](1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于()A.310B.13C.18D.19Copyright2004-2009版权所有盗版必究•(2)若数列{an}是等差数列，首项a10，a2005＋a20060，a2005a20060，求使前n项和Sn0的最大自然数n.•(3)若等差数列{an}中，Sn是前n项的和，且S3＝9，S9＝3，求S12.Copyright2004-2009版权所有盗版必究(2)∵a10，a2005＋a20060，a2005a20060，∴a20050，a20060.S4010＝4010(a1＋a4010)2＝4010(a2005＋a2006)20.S4011＝4011a20060，∴使前n项和Sn0的最大自然数n为4010.(3)S99－S339－3＝S1212－S3312－3，∴S12＝－12.[拓展提升]等差数列均匀截断，等差数列每段之和仍为等差数列．Copyright2004-2009版权所有盗版必究•(1)等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，a2＋a8＝()•A．45B．75•C．180D．300Copyright2004-2009版权所有盗版必究•(2)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()•A．160B．180•C．200D．220Copyright2004-2009版权所有盗版必究(2)本题考查等差数列的性质，由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)⇒a1＋a20＝18⇒S20＝a1＋a202×20＝182×20＝180，∴选B.答案：(1)C(2)BCopyright2004-2009版权所有盗版必究•[例4]在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．•[分析]此题可有多种解法，一般可先求出通项公式，利用不等式组确定正负转折项，或者利用性质确定正负转折项，然后求其和的最值．Copyright2004-2009版权所有盗版必究[解]解法1：设公差为d，∵S10＝S15，∴10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，得d＝－53.又a1＝20，∴an＝20－53(n－1)，∴{an}为递减数列．由an≥0an＋1≤0，即20＋(n－1)(－53)≥020＋n(－53)≤0.∴12≤n≤13，n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，S12＝S13＝130.Copyright2004-2009版权所有盗版必究解法2：由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－53，∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13，∴a13＝0.∵d0，a10，∴a1，a1，…，a11，a12均为正数，而a14及以后的各项均为负数．∴当n＝12或13时，Sn有最大值，S12＝S13＝130.Copyright2004-2009版权所有盗版必究•[拓展提升]求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，利用二次函数的性质求最值．Copyright2004-2009版权所有盗版必究•等差数列{an}中，a10，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？Copyright2004-2009版权所有盗版必究解法2：由an＝a1＋(n－1)d≤0，an＋1＝a1＋nd≥0.即1－110(n－1)≥0，1－110n≤0.得10≤n≤11，∴n取10或11时，Sn有最小值．解法3：∵S9＝S12，∴a10＋a11＋a12＝0，∴3a11＝0.∴a11＝0，∵a10，∴前10项或前11项和最小．Copyright2004-2009版权所有