二元线性规划问题的图解法

18.2.2二元线性规划问题的图解法考向预测这部分内容是重新洗牌的新教材后增加的内容，我预测在高考中会以选择题、填空题的形式考查目标函数的最值、约束条件下平面区域的图形面积问题，在解答题中考查求函数的最优解等问题.以及已知目标函数的最值，求约束条件或目标函数中参数的取值问题。本节课内容解读二元线性规划问题的图解法(1)能从实际问题中抽象出二元一次不等式组.(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会用图解法解决简单的二元线性规划问题.1.二元一次不等式(组)表示平面区域作二元一次不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C＜0)表示的平面区域的方法步骤:(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0.(2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当C≠0时,常把作为此特殊点.(3)若Ax0+By0+C＞0,则包含点P的半平面为不等式所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式所表示的平面区域.原点Ax+By+C＞0Ax+By+C＜02.线性规划的有关概念（1）线性约束条件——由条件列出一次不等式（或方程）组.（2）线性目标函数——由条件列出一次函数表达式.（3）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题.（4）可行解：满足的解（x，y）.（5）可行域：所有的集合.（6）最优解：使取得最大值或最小值的可行解.线性约束条件可行解目标函数合作讨论，构建新知探究：如图：在平面直角坐标系中，Ax+By+C=0（A＞0，B＞0）表示一条直线，当C取不同的值时，所得的方程就表示不同的直线，这些直线可以看做由直线Ax+By=0平移得到。当直线往右上方平移时，Z=Ax+By的值是增大还是减小？xy0Ax+By=0Z值不断增大为什么？解：∵A＞0，B＞0，∴当直线往右上方平移时，直线上点的横坐标x和纵坐标y的值随之增大，所以Z=Ax+By的值也在不断地增大。如果没有A＞0，B＞0限制条件时，当直线平移时，由于系数A、B符号不同，值Z=Ax+By的变化情况是不同的。解：∵A＞0，B＞0，∴当直线往右上方平移时，直线上点的横坐标x和纵坐标y的值随之增大，所以Z=Ax+By的值也在不断地增大。如果没有A＞0，B＞0限制条件时，当直线平移时，由于系数A、B符号不同，值Z=Ax+By的变化情况是不同的。例1．用图解法解线性规划问题：maxz=2x+3y5x+10y≤40120x+60y≤600x,y≥0xy0x+2y=82x+y=10x+2y=82x+y=10A(4,2)↓x+2y≤82x+y≤10x,y≥0①画（画可行域）②移（移等值线）2x+3y=0x+2y=82x+y=10解方程组③求（求z最值）maxz=2×4+3×2=14解：画直线直线x+2y=8和2x+y=10，其交点为A.如图中的阴影部分就是问题的可行域，将直线2x+3y=0往右上方平移到可行域的顶点A（4,2）时，z取得最大值14.即maxz=2×4+3×2=14x+2y=82x+y=10A(4,2)归纳总结：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）画：在平面直角坐标系内作出可行域.（2）移：作出目标函数的等值线.（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定.（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.最优解考点突破，形成技能1.变式1：求例1中函数z=2x+3y在平面区域5x+10y≤40120x+60y≤600x,y≥0内的取值范围.x+2y=82x+y=10A（0,0）(4,2)解：当2x+3y=0往右上方平移时，直线上的横坐标x随之增大，纵坐标y随之增大，故所对应的z值也随之增大。因此，z=2x+3y在原点0（0,0）取得最小值，在A点（4,2）取得最大值。所以z∈〔0,14〕2.变式2：观察例1的平面区域，若使目标函数z=abx+y(a＞0，b＞0)取得最大值为14，则ab的值为，a+b的最小值为。32x+2y=82x+y=10A(4,2)3解：∵目标函数z=abx+y在A（4,2）处取得最大值为14，∴4ab+2=14∴ab=3.∵a+b≥∴a+b的最小值为32ab2323、变式3：观察例1的平面区域，若使目标函数z=ax+y(a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为。21x+2y=82x+y=10A解：由题意知：要使目标函数z=ax+y(a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，必须直线ax+y=0与直线x+2y=8平行，即两直线斜率相等。所以a=21214．思考：例1中约束条件下的平面区域的图形面积如何求？x+2y=82x+y=10A思路点拨：求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则的，则可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形然后求解．5.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.10kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？食物／kg碳水化合物／kg蛋白质/kg脂肪／kgA0.1050.070.14B0.100.140.07提高拓展，实际应用分析:①列(列线性约束条件,目标函数)0006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyx＋＋0067146147577yxyxyxyx目标函数为：z＝28x＋21y线性约束条件（三）例题分析②画(画可行域)767573717172747573116714yx577yx6147yx③移(平移目标函数,寻找最优解)M6714577yxyx解方程组解得7471yx④求(求Z的最值)如何求点M的坐标?zmin＝28x＋21y＝1628X+21y=0(1)解决线性规划实际应用题的一般步骤:①认真审题,分析并掌握实际问题的背景,设出未知数,写出线性约束条件和目标函数.②作出可行域.③作出目标函数值为零时对应的直线l.④在可行域内平行移动直线l,从图中能判定问题有唯一最优解,或是有无穷最优解或无最优解.⑤求出最优解,从而得到目标函数的最值.x-y+5≥0y≥a0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是.6.若不等式组【解析】如图，不等式组x-y+5≥00≤x≤2表示的平面区域与x轴构成一个梯形，它的一个顶点坐标是（2，7）用平行于x轴的直线y=a截梯形得到三角形，则a的取值范围是5≤a7.四、归纳小结，反思提高同学们，在本节课中你有什么收获与感悟吗？说出来与大家分享一下吧。