用高中必修一二次函数与一元二次方程根的分布(2013年)

函数y=f(x)的图象与x轴有交点•一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x就做函数y=f(x)的零点.•如f(x)=x2-3x+2,当f(x)=0时,x=1或x=2,则1和2就是函数f(x)=0的两个零点；•注意：函数的零点是个数，而不是点。由此得出以下三个结论等价：函数的零点的定义方程f(x)=0有实根函数y=f(x)有零点判别式与一元二次方程根的关系★一元二次方程20(0)axbxca2(1)40bac当时，方程有两个相等的实数根2(3)40bac当时，方程有两个不相等的实数根方程没有实数根2(2)40bac当时，★已知一元二次方程在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为根的分布问题。20(0)axbxca实根分布问题一般考虑三个方面，即：一元二次方程根的分布24bac（1）判别式2bxa（2）对称轴（3）区间端点函数值的符号。根的分布的三要素2(00)axbxca我们研究一元二次方程二次项系数为正的情况，当二次项系数为负时，开口向下，利用相同的方法研究即可。问题1:关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根,求m的范围。01mm用以前学过的解法：韦达定理法你还有其他思路吗？能从二次函数入手思考该问题吗？解：设方程的两实根分别为x1、x2，则120xxm2340(m)m1230xxm0m21090mm3m解：方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根,即两根分布在（0,+∞)上，由图象知只需满足以下条件：2340(m)m＝问题1:关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根,求m的范围。00f()m3022bma01mm根的分布法0m21090mm3mO判别式对称轴端点函数值根的分布的三要素：比较两种方法：21212340300(m)mxxmxxm2340302200(m)mbmaf()m＝韦达定理法根的分布法1.两种方法：形式不同，本质一样；01mm0m21090mm3m01mm0m21090mm3m3.根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值2.用韦达定理法更简单一些；（2）两负实根；（3）两实根均小于1；（4）两实根均大于0.5；（5）两实根均在(0,2)；（6）一正一负两实根；（7）一个正根，一个负根且正根绝对值较大（8）两实根中，一根大于1，一根小于1；（9）两实根中有且只有一根在(0,2)；（10）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(1,3)；（11）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(0,4)；（12）一个根小于2，一个根大于4。问题:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0,求m的范围。（1）两正实根(已解决)继续探究：这么多问题如何在最短时间内解决?难还是简单？思维清晰还是有点乱？(1)-(5)都是两根在同一区间内。(6)-(12)都是两根在不同的区间内。问题2：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（2）有两个负根9mm解法一：韦达定理法21212340300(m)mxxmxxm设方程的两实根分别为x1、x2，则2109030mmmm＝与原点有关的根的分布问题用韦达定理法求解更简单一些！解法二：根的分布法2340302200(m)mbmaf()m＝9mm问题2：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（2）有两个负根根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值2109030mmmm＝yxox2＋(m－3)x＋m=0有两个负根,,即两根分布在(-∞,0)上,由图象知只需满足以下条件：（3）两个根都小于1022)1(123204)3(2mfmabmm9mm问题3：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解:方程x2＋(m－3)x＋m=0的两根都小于1,即两根分布在(-∞,1)上，由图象知只需满足以下条件：yx12109011mmmm＝根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值0.5xyO（4）两个根都大于0.5234030522650504(m)mbm.amf(.)516mm问题4：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：方程x2＋(m－3)x＋m=0的两根都大于0.5，即两根分布在(0.5,+∞)上，由图象知只需满足以下条件：21090256mmmm＝根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值（5）两个根都在（0,2）内2340322002320(m)mm0f()mf()m12mm3问题5：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：方程x2＋(m－3)x＋m=0的两根在(0,2)内,由图象知只需满足以下条件：yx2O根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值2109014023mmmmm＝问题6：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（6）一个正根，一个负根0mm设方程的两实根分别为x1、x2，则2123400(m)mxxm解法一：韦达定理法210900mmm＝与原点有关的根的分布问题用韦达定理法求解更简单一些！解法二：根的分布法0m0mmxy问题6：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。（6）一个正根，一个负根00f()根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值方程x2＋(m－3)x＋m=0有一个正根，一个负根，即两根分布在(-∞,0)和(0,+∞)上，由图象知只需满足：（7）一个正根，一个负根且正根绝对值较大问题7：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。0mm解法一：韦达定理法21212340300(m)mxxmxxm设方程的两实根分别为x1、x2，则210900mmmm＜3与原点有关的根的分布问题用韦达定理法求解更简单一些！解法二：根的分布法302200bmaf()m0mmxy（7）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大问题7：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。30mm根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值方程x2＋(m－3)x＋m=0一个正根,一个负根且正根绝对值较大,即一根在(-∞,0)上,另一根在(0,+∞)上,并且对称轴在原点的右侧，由图象知只需满足：（8）一个根大于1，一个根小于11mm2m-20问题8：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。1xy解：方程x2＋(m－3)x＋m=0一根大于1,一根小于1,即一根在(-∞,1)上,另一根在(1,+∞)上,由图象知只需满足：f(1)0根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值（9）两个根有且仅有一个在（0,2）内f(0)f(2)0203mm问题9：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：x2＋(m－3)x＋m=0两个根有且仅有一个在（0,2）内，由图象知只需满足以下条件：O2xyO2xy根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值m(3m-2)0（10）一个根在（-2,0）内，另一个根在（1,3）内04)3(022)1(0)0(010)2(mfmfmfmfØ问题10：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：方程f(x)＝x2＋(m－3)x＋m=0的一个根在（-2,0）内，另一个根在（1,3）内，由图象知只需满足以下条件：-2O13xy10010mmmm根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值（11）一个根在（-2,0）内，另一个根在（0,4）内045)4(0)0(010)2(mfmfmf054mm问题11：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：x2＋(m－3)x＋m=0一个根在（-2,0）内，另一个根在（0,4）内，由图象知只需满足以下条件：-2O4xy10045mmm根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值（12）一个根小于2，一个根大于4045)4(023)2(mfmf54mm问题12：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。解：x2＋(m－3)x＋m=0一个根小于2，一个根大于4，即一根在(-∞,2)上,另一根在(4,+∞)上,由图象知只需满足以下条件：2O4xy2345mm根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值1、当一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的根分布在同一个区间内时，列不等式组时要考虑哪些因素？用三要素列不等式组即可，0)(20kfkab0)(20kfkab0)(0)(202121kfkfkabk根的分布的三要素：判别式对称轴端点函数值yxk两个根都小于kkxy两个根都大于kyxkk12O两个根在(k1,k2)内小结：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）根的分布2、当一元二次方程的根分布在不同的区间时，列方程组时考虑哪些因素？用端点的函数值和对称轴一般可以列出方程组。kxy一个根小于k，一个根大于kyxkk12O两个根有且仅有一个在(k1,k2)内k1k2p1p2xy112212(,),(,)xkkxppf(k)f(k)012120000f(k)f(k)f(p)f(p)f(k)0小结：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）根的分布解决一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)实根分布的方法、步骤：（1）确定方程根分布在同一区间还是不同区间；（4）求解不等式即得相应参数的范围。（2）方程根分布在同一区间时利用三要素列出不等式组；（3）方程根分布在不同区间时利用端点函数值列出不等式(组)；与原点有关的根的分布问题用韦达定理法求解更简单一些！注意：练习：1．m为何值时，方程224310xmxm有两个负实根。2．关于x的方程2350xxa的一根大于－2小于0，另一根大于1小于3，求a的范围。3.关于x的方程221210(m)xmx，一根小于0，另一根大于1，求m的取值范围。-12a0-1m011132mm或解：m为何实数值时，关于x的方程，（1）有实根；（2）有两正根；（3）一正一负。2(3)0xmxm22(1)4(3)04120mmmm，1212062(2)006300mmxxmmmxx或得得：12062(3)3.030mmmxxm或得得：62.mm得：或练习24(3)0(1)0612mmfmm01f(x)x1x2xm为何