并联机器人的雅可比,可操作性,条件数和精度

并联机器人的雅可比，可操作性，条件数和精度（翻译论文）虽然在最早的机器人研究中就已经有了雅可比矩阵的概念、可操纵性、条件数的概念，但是它们的真正意义并不是很好理解。在本文中，我们重新审视这些作为并联机器人优化设计精度指标的概念。首先，我们指出，通常的雅可比矩阵的输入—输入方程可能不足以分析平台的定位误差。然后我们检验可操纵性的概念，表明其经典的解释是错误的。我们考虑各种常见的局部灵巧指数，其中大部分是基于雅可比矩阵的条件数。值得注意的是，即使对于一个给定的机器人，在一个特定的姿态也会有各种各样的条件数，这些条件数之间都不一致，和我们想得到的精度指标也不一致。然后考虑了全局调节指数。除了存在基于错误的局部准确性指数的问题外，还有一个忽略了大部分时间而进行计算的计算问题。最后，我们检验了其他哪些指标可用于优化设计，并且介绍了计算它们的难度。1引言我们将使用一个相对通用的非冗余并联机构的定义。当一个机构用至少两个运动链来控制自由度n6的末端执行器时，我们定义它为并联机构，而其他的6-n个自由度是一个恒定值通过单自由度驱动关节控制。此外，如果将驱动器锁定，则末端执行器的自由度为0，非驱动关节有一个单自由度。这样的定义涵盖了经典的六自由度机器人，比如Gough和Hexa平台，还有少于六自由度的机构，如Delta和3-UPU机构。如今，并联机构的应用领域越来越广，如望远镜、精定位装置、包装速度快、机床、医疗。对尺寸非常的敏感是并联机构优化设计的一个关键问题。最优设计的方法有静力学性能指标。精度显然是许多应用中的一个关键问题。并联机构也有串联机构的一些关键问题，因此，针对这些问题做了很多广泛的研究，定义除了很多准确性指标，这些结果已经应用到并联机构上。本文的目的是检验这些指标是否适用于并联机构。雅可比矩阵和逆雅可比矩阵用于研究末端执行器的定位精度的，为了这个目的，很有必要研究它们的概念。2雅可比矩阵和逆雅可比矩阵让Xa表示末端执行器的广义坐标，由末端执行器的N个自由度参数组成。而让X表示末端执行器的所有广义坐标，即，一组参数完全描述末端执行器的移动和方向。对于参数X的选择，我们不考虑任何限制（如：一个Gough机器人平台的姿势可能用末端执行器上三个不相关联的三个点的九个坐标来表示）。末端执行器的扭转W由平移速度V和角速度组成，将受限制的转动定义为Wa。众所周知，机器人拥有至少两个旋转自由度。W不是X对时间的导数，因为这里没有表示方向的衍生品对应的角速率。不过，通常存在矩阵H、K使得WHXXKW机器人的内部几何形状可以用一系列参数进行描述，这些参数可以描述大多数或者全部的关节，包括被动的非驱动关节。这些变量是关节变量矢量组成的。通常定义的雅可比矩阵KJ涉及到关节变量矢量，关节变量矢量受到驱动关节的限制，并且基于驱动关节速度a和受限制扭转aW之间的线性关系akaWJ在本文中，我们只考虑非冗余机器人，所以雅可比矩阵kJ是方阵，我们将它称之为运动雅可比。并联机器人的一个特点是，通常很容易建立一个解析形式1kJ，然而获得kJ往往很困难甚至是不可能的事。要计算运动学逆雅可比，我们可能会使用的速度分析，但正如Gosselin所提到的，也可以使用闭合环路的运动方程来得到运动学逆雅可比，运动闭合回路方程的一般形式为,0aaEX因为我们已经将唉设机器人是非冗余的，而且如果它的驱动都被锁死，末端执行器是不能运动的，所以肯定恰好存在n个这样的方程。用微分方程表示我们可以得到0aakaaaaaEEXUVXX利用式(1)对aW的限制，只要kU不是奇异的我们就可以得到11kkaaaJUVKWGosselin和Angeles[7]已经对并联机器人奇异性问题作了初步研究，他们区分了当kU是奇异时的串联奇异（或1型）与当aV是奇异时的并联奇异（或2型）。根据这个定义，在一个并联的奇异位置，即使驱动关节被锁住末端执行器也是可动的。一个典型的测量误差的例子是，驱动关节变量的测量值没有改变，而末端执行去却又一个位移。因此，精度分析也涉及到了奇异性分析。我们也可以定义其他的雅可比矩阵。该雅可比矩阵中包含了描述被动关节参数中的参数。在并联机器人中存在着大量的这样的参数，因此将被定义为一个N维向量,a，其中对应被动关节的参数，N表示运动关节的总数量。一些机器人的设计目标是自由度小于6，其余的自由度是一个定值，末端执行器依然是一个6自由度的刚体。在优化设计的时候需要检查所有自由度的定位误差。确定末端执行去全部转动W的逆雅可比矩阵是很有意思的。为了确定这个逆雅可比矩阵，我们将运动学封闭环路方程写作：,0GX这个方程中未知数的数目是N+n。我们已经假定当n个驱动器锁定后，末端执行器是不能运动的，所以在该系统中方程G解的数目必须是有限的，即，方程的数目必须与未知数的数目相同，都是N个。将式(6)求微分我们得到0aGGXABCXX其中，A是Nn阶矩阵，B是NNn阶矩阵，C是6N阶矩阵。Zlatanov[8]得出了类似的表达式，不同之处在于他使用的是受限制的旋转aW，此时的aW可能通过aWT来获得。他的目的在于将式（7）化为0aaABCKLWW其中，L是6NN的矩阵。这个式子还可以写成ABDCKW其中，D是NN的矩阵。如果D是非奇异矩阵，我们就可以得到它的逆雅可比矩阵11DCKWJW其中，1J是6N的矩阵。在大多数情况下，速度分析可以消除式（10）中被动关节速度，从而得到之关系到a和W的简单雅可比关系。10afkJW其中，1fkJ是6N的矩阵，这个矩阵称为全逆运动学雅可比。通常的雅可比矩阵限制了从1fkJ得到aW。式（10）中逆雅可比矩阵1J的重要特性是，无论末端执行器处在什么样的位置，逆雅可比矩阵1J和全逆运动学雅可比的秩相同。Zlatanov提出了六种他称之为奇点的情况，其中式（8）没有一个通用的行为。因为我们只考虑末端执行器的运动，所以我们之考虑一下的情况：冗余输出（RO）：当0W时，使得式（8）满足0a。换句话说，即使驱动器被锁住，末端执行器也会运动（着通常叫做奇异位形）。全逆运动学雅可将不是满秩。瞬时自由度增加（IIM）：当矩阵L的秩小于N时。必须注意到，式（10）描述了一个机器人的固有特性。我们可以改变姿势参数向量X（比如，对于有一个动平台的Gough机器人，可以选择不同的X的元素，即末端执行器上三个特定独立点的九个坐标），而得到相同的方程。我们可以进一步拓展式（7），考虑机器人的几何参数P（例如，Gough平台分支定位点的位置）。出于这一目的，运动学方程将被写成,,0GPX，矩阵P的偏导数G矩阵允许定位错误的末端执行器P存在一个定量误差的影响。虽然这种影响对于并联机器人可能很重要[9–15]，但我们不去解决这个问题，不过部分影响可以通过校准来减少。可以看到，逆雅可比矩阵不止有一个，而是有很多。值得关注的是，就单位方面而言，涉及到末端执行器完整扭转W的逆雅可比矩阵元素将通常不是齐次的。因此，这个矩阵的很多特性不会因单位的改变而改变，例如它的行列式、轨迹等（如[16]对灵巧指数不变性的讨论）。这也将是涉及到末端执行器转动和移动自由度逆雅可比矩阵的情况。涉及到机器人末端执行器移动和转动自由度的也是运动学逆雅可比矩阵的情况。最后，值得注意的是，通过二重性，运动学逆雅可比矩阵也可应用于并联机构静态分析，即，在平台上的关节和构件上力和力矩之间的关系[17、18]。在本文中，我们会关注末端执行器在测量参数a下无法被检测到的运动。这将会在一下两种情况下发生：不可测量的主动关节运动，这种用对对应测量准确性的限制aZlatanov对冗余输出（RO）和瞬时自由度增加（IIM）的几点分类为了研究这两种情况，我们需要用到全逆运动学雅可比而不仅仅是运动学逆雅可比矩阵，在例2.1中对此进行强调。例2.13-PUP并联机器人。Tsai[4]已经提出了3移动并联机构3-PUP（如图1）。每个分支的组成为，从底部起，由一个U副连接一个由直线驱动器驱动，长度可变的杆，杆的另一端也是连接一个U副，该U副的轴线方向与底部U副轴线方向相同。这种约束理论上可以使末端执行器有一个移动自由度。通过这个例子我们可以确定全逆运动学雅可比矩阵，并且可以看到这个雅可比矩阵的重要性。需要说明的是，这样的机构已经由首尔国立大学（SNU）设计出来，但在各分支长度相同的姿态下，机构表现出奇怪的行为，虽然直线驱动器被锁住，末端执行器却表现出明显的定向运动。对于这种现象有两种可能的原因：末端执行器的位置对制造误差是非常敏感的。事实上，这种机器人只是理论上有三个评议自由度，因为它要求底部和动平台上的U副轴线完全对齐。在实际中，这种对齐是不可能实现的，这样将导致转动自由度的产生。Han等[19]和Parenti-Castelli和DiGregorio[20]对制造误差对定位精度的影响进行了研究。虽然这个机器人表现出了很强的敏感性，但是仅仅因为敏感性还无法解释SUN模型为何有如此大的转动。机器人处在奇异位形；这是先天的缺陷，因为运动学逆雅可比矩阵的行列式在任何奇异的姿态都不为0。Bonev和Zlatanov[21]第一次将这种现象解释为约束奇异。DiGregorio和Parenti-Castelli[22]，Joshi和Tsai[23]，Wolf等[24]近期对此做出了相同的解释。这个现象已经成为了典型的奇异的例子，奇异仅仅通过输入输出速度方程无法求解，即今通过运动学逆雅可比矩阵无法解释。首先，我们将确定全逆运动学雅可比的解析形式。我们用123,,BBB来表示动平台上U副的中心，用,V表示末端执行器的移动和转动速度。iB点的速度iBV为1iBVVBC我们定义in为分支i的单位向量，i为分支的长度，i为直线驱动器的速度。我们可以计算式（12）左右两边的点积11111iBiiiiVnnVnBCnVnCBn定义,iiuv为U副iB处两个关节轴的单位向量，底部和动平台上所有U副的这些向量都是相同的。分支相当于地步的角速度l和动平台相当于分支的角速度为iiiilAiAiBiBiuvuv动平台的角速度可以通过下式获得iiiilABiABiuv定义iiisuv，计算上式等号两边对is的点积，我们可以得到恒等式0is这表明末端执行器不能绕着通过iB单位向量为is的直线转动。结合式（13）和式（14）我们可以得到设计转动W的完整的速度方程1100iiifkinCBnJWWs建立了全逆运动学雅可比矩阵。1fkJ是一个33的矩阵，每一列由向量in组成，通过它可以推导出逆运动学雅可比矩阵。从这个矩阵中可以得到重要的信息。首先，矩阵的行都是空间线的Plücker向量。矩阵前三行是机器人分支线的Plücker向量，而后三行对应的线在无穷远处。因此，基于线性几何的奇异性分析方法可能应用于自由度小于6的去机器人。事实上，对于知道的所有并联机器人，它们的全逆运动学雅可比的行都是Plücker向量，虽然据我所知，并没有正式的证据能够证明永远是这样的情况。对于精度分析而言，重要的是分析1fkJ的下半部分。他们代表位于任意平面上的无穷远处的线垂直于is。根据几何关系，如果向量is位于同一平面或者相互平行，则三条线相互依赖，即，1230sss。在这种情况下，锁住驱动器动平台也会有定向运动，由于机器人的几何关系这个定向运动是极小或者有限的[21]。SNU设计的机器人也恰好有这样的情况存在，驱动器长度相同、所有U副轴线处在水平位置时会导致平行垂直is，因此是旋转奇点。3-PUP机器人又很多不同的模型（例如可能存在只有转动自由