第二类曲线积分

第十章第二节机动目录上页下页返回结束第二类曲线积分二、第二类曲线积分的概念与性质一、向量场三、第二类曲线积分的计算一、向量场机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束定义：设2DR，2R上的向量场是一个函数，这个函数将D中的每个点(,)xy映射到一个二维向量(,)Fxy。定义：设3ER，3R上的向量场是一个函数，这个函数将E中的每个点(,,)xyz映射到一个三维向量(,,)Fxyz。机动目录上页下页返回结束画向量场xyo2FijxyoFxixyoFxiyjFyixjxyo机动目录上页下页返回结束FzkFyixj机动目录上页下页返回结束定义：一个数量函数的梯度是一个向量场，称为梯度场。梯度场和保守场三元函数(,,)fxyz的梯度为xyzgradffifjfkf定义：一个向量场F称为保守场，如果它是某个数量函数的梯度，即存在一个函数f，使得Ff，此时f称为F的势函数。二元函数(,)fxy的梯度为xygradffifjf注意：不是所有的向量场都是保守场，但这种向量场在物理中确实频繁出现。比如，力场，速度场都是保守场，但磁场不是保守场。如何判断一个向量场是否是保守场，将在下一节讨论。机动目录上页下页返回结束例：求出23(,)fxyxyy的梯度场，并在f的等高线上画出梯度场，观察它们之间的关系。解:22(,)2(3)fxyxyixyj从右图可以看出，梯度向量和等高线正交。梯度向量在等高线密的地方长，在等高线稀的地方短。这是因为，梯度向量的长度等于f的方向导数的值，等高线越密的地方，意味着高度变化越快。设定向曲线L的参数方程为：))(()(tzztyytxxbat:表示L的起点对应at，终点对应bt。二、对坐标的曲线积分定向曲线与切向量：定向曲线：带有确定走向的一条曲线。机动目录上页下页返回结束规定：定向曲线上各点处的切向量的方向总与曲线的走向一致。其中：当ba时，取正号；ba时，取负号。则L的切向量为：})(,)(,)({tztytxABL1nMiM1iM2M1MkzyxRjzyxQizyxPzyxF),,(),,(),,(),,(分割.,,,,110BMMMMAnn.ABFW解:机动目录上页下页返回结束“分割,近似,求和,取极限”求变力沿曲线所作的功，利用,),,(1iiiiiiMMFW近似例：求变力F沿曲线L所作的功。已知常力F沿直线所作的功变力设曲线,:BAL),,(iii求和:取极限:niiiiiiiiiiiiizRyQxPW10]),,(),,(),,([lim机动目录上页下页返回结束niiiiiiMMFW11),,(niiiiiiMMFW110),,(lim,)()()(1kzjyixMMiiiiikRjQiPFiiiiiiiiiiii),,(),,(),,(),,(向量形式坐标形式ABL1nMiM1iM2M1M),,(iii则对坐标的曲线积分的定义：设L是一条从点A到点B的定向光滑（或分段光滑）曲线，向量函数)(MF在L上有定义。用分点BAAAAn,,10将L按从A到B的方向任意分成n个小弧段，记每个小弧段的弧长为is，并记1iiiAAr，),2,1(ni，在每个小弧上任取一点iM，做数量积：iirMF)(，),2,1(ni，求和：niiirMF1)(，令0maxiis，若机动目录上页下页返回结束此和式的极限存在（不依赖于曲线的分法和点iM的取法），则称此极限值为向量函数)(MF沿曲线L从A到B的第二类曲线积分（也称对坐标的曲线积分），记作rdMFrMFLniii)()(lim10其中有向曲线L称为积分曲线。上式也称为第二类曲线积分的向量形式。机动目录上页下页返回结束第二类曲线积分也称为向量场的线积分。（1）变力沿定向曲线所做的功：rdMFWL)(说明：（2）若L是封闭曲线，则沿L的指定方向的第二类曲线积分记为rdMFL)(。机动目录上页下页返回结束定理（第二类曲线积分存在的充分条件）：设有向曲线BA分段光滑，向量函数)(MF，的各个分量函数在BA上连续或分段连续，则)(MF沿曲线BA从点A到点B的第二类曲线积分存在。基本性质机动目录上页下页返回结束注意：第二类曲线积分没有第一类曲线积分的对称性质及有关不等式的性质。以下设有向曲线BA分段光滑，向量函数)(MF，)(MG的各个分量函数在BA上连续或分段连续性质1：rdMGkMFkBA)()(21rdMGkrdMFkBABA)()(21性质2：rdMFrdMFABBA)()(性质3：若BCCABA，则rdMFrdMFrdMFBCCABA)()()(第二类曲线积分的坐标表示设,),(kkkyxA,),(kkkM则},{11iiiiyyxxiiiAAr1},{iiyx记niiirMF1)(niiiiiiiyQxP1]),(),([机动目录上页下页返回结束（1）若),(),,(),(yxQyxPyxF，L是平面曲线弧，令的弧长为其中iiiiiAAss1,0}{max若上式左端的极限存在，则右端的极限也存在记为rdyxFL),(LdyyxQdxyxP),(),(上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。（2）若),,(),,,(),,,(),,(zyxRzyxQzyxPzyxF机动目录上页下页返回结束L是空间曲线弧，则rdzyxFL),,(dzzyxRdyzyxQdxzyxPL),,(),,(),,(上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。的参数方程为：设有向曲线弧L0(,,){cos,cos,cos},Lxyz在点处单位切向量battzztyytxx:,)(,)(,)(0LFds则{,}(,)LFPQLxy若是有向平面曲线弧，，在点处的0{cos,cos},单位切向量则0(coscos)LLLPdxQdyFdsPQds机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的关系(coscoscos)LPQRdsLPdxQdyRdz{,,}FPQR其中证明：：的参数方程为设Lbattzztyytxx:,)(,)(,)(,)1(ba若：的切向量为则L)}(),(),({tztytxdttztytxrd222)]([)]([)]([||又，也是切向量则dttztytxdzdydxrd)}(),(),({},,{ds||0rdrd则dsrd}cos,cos,{cos于是有机动目录上页下页返回结束0drds即0LLPdxQdyRdzFds其中0{cos,cos,cos}是L在点),,(zyx处的单位切向量，方向与L的走向一致。,)2(ba若,tu可令bau:则,ba而此时对参数u进行讨论，,cosdsdx,cosdsdydsdzcos机动目录上页下页返回结束平面曲线的情况完全类似推导。归结到第一种情况，从而结论成立。故(coscoscos)LPQRds例1：计算LIxdxydy，其中222:Lxya沿逆时针方向。解1：{,}Fxy设，机动目录上页下页返回结束0是指定方向的单位切向量，0F因为，LIxdxydy则00F所以，0LFds0xyo01{,}yxa事实上，容易求得：例1：计算LIxdxydy，其中222:Lxya沿逆时针方向。解2：{,}Fxy设，机动目录上页下页返回结束0是指定方向的单位切向量，222:Lxyax两边关于求导得LIxdxydy则0LFds0xyo01{,}yxa，220,xyy,xyy{1,}xy//{,}yx取逆时针方向00F所以，例2：把第二型曲线积分Lxdzzdyydx化成第一型曲线积分并计算，其中L是从点)0,0,0(到点)1,22,22(的一条直线段。解：10:,,22,22ttztytxL：22cos,21cos,21cos2)()()(222tztytx机动目录上页下页返回结束于是LxdzzdyydxLdsxzy222121dtttt22222212221104221四、对坐标的曲线积分的计算，且存在线积分则曲且上具有一阶连续导数为端点的闭区间及在以终点运动到沿的起点从点时变到单调地由当参数的参数方程为上连续在有向曲线弧设LdyyxQdxyxPttbattBLALyxMbattytxLLyxQyxP),(),(,0)()(,)(,)(,),(,,)()(,),(,),(22定理（平面曲线的情形）机动目录上页下页返回结束dttttQtttPdyyxQdxyxPbaL)}()](),([)()](),([{),(),(机动目录上页下页返回结束证明：则切向量处的单位在是设,),(}cos,{cos0yxLdsyxPdxyxPLLcos),(),(则若,.)1(ba})]([)]([)(,)]([)]([)({22220tttttt则即,)]([)]([)(cos22tttdsyxPdxyxPLLcos),(),(dttttttttPba2222)]([)]([)]([)]([)())(),((dttttPba)())(),((则若,.)2(ba22)]([)]([)(costtt机动目录上页下页返回结束dsyxPdxyxPLLcos),(),(dttttPab])())[(),((dttttPba)())(),((综上所述，不论ba还是ba，都有dttttPdxyxPbaL)())(),((),(其中，等式右端的定积分的下限a对应于L的起点，上限b对应于L的终点。同理可证：dttttQdyyxQbaL)())(),((),(机动目录上页下页返回结束dttttQtttPdyyxQdxyxPbaL)}()](),([)()](),([{),(),(于是机动目录上页下页返回结束注意：a未必小于b。其中，等式右端的定积分的下限a对应于L的起点，上限b对应于L的终点。特殊情形则，终点为起点为,,)(:)1(baxxyyLdxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL)}()](,[)](,[{则终点为起点为,,,)(:)2(dcyyxxLdyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL]}),([)(]),([{机动目录上页下页返回结束(3)若曲线L的方程为：0),,(0),,(zyxGzyxF，则需化成参数方程，再进一步用公式求。(4)若曲线L的方程为极坐标方程：,)(:先化成参数方程：,sin)(cos)(yx:然后用公式计算。，且存在则曲线积分一阶连续导数为端点的闭区间上具有及以在的参数方程为上连续向曲线弧在空间有设