第2章-年金0

第2章年金【考试要求】2.1标准型年金期末付年金期初付年金任意时刻的年金值永续年金年金的非标准期问题年金的未知时间问题年金的未知利率问题2.2一般型年金变利率年金付款频率与计息频率不同的年金连续年金基本变化年金更一般变化年金连续变化年金【要点详解】§2.1标准型年金1．期末付年金（1）年金：是指一系列按照相等时间间隔支付的款项。（2）期末付年金①定义：在每个付款期末付款的年金②年金现值：每期期末付款额为l，付款期限为n期，每期利率为i的付款在时间0时的现值：③年金终值：每期期末付款额为l，付款期限为n期，每期利率为i的付款在时间n时的积累值之和：（3）常用关系式：注意：通常符号中不必标出计算所依据的利率，在一个问题中涉及多个利率时，为避免引起混淆，可写作：的形式，如等。2112.1nnnnvvvvvia1211(1)(1)(1)12.2nnnniiisii11nniasnnas、ninias、0.060.080.07nnnaas、、【例题2.1】甲年金在36年内每年底支付4，乙年金在18年内每年底支付5，在某一年利率i下两个年金的现值相等，则要使某一以i为收益率的投资翻倍，需要的投资年限为（）。[2008年春季真题]A．8B．9C．10D．11E．12【答案】B【解析】由题意得：解得：v18=1/4，即(1+i)9=2。设投资年限为t，由题意得：(1+i)t=2，故t=9。【例题2.2】年金A在前10年的年末每次支付1，在随后10年的年末每次支付2，在第三个10年的年末每次支付1；年金B在第一个10年的年末每次支付X，在第三个10年的年末每次支付X，中间的10年没有支付。假设年利率使得本金在10年末翻一倍，且两个年金的现值相等，则X的值等于（）。[2008年春季真题]A．1.4B．1.5C．1.6D．1.8E．1.9【答案】D【解析】设年利率为i，则（1+i）10=2，即v10=0.5，v20=0.25，由题意有：解得：X=1.8。36183618114545iivviiaa即，10202010101010102aavavXaXav【例题2.3】在年复利利率j下，已知：（1）每年末支付2，共2n年的年金的现值及每年末支付1，共n年的年金的现值之和为36；（2）延期n年每年末支付2，共n年的年金的现值为6。则j=（）。A．0.04B．0.05C．0.06D．0.07E．0.08【答案】D【解析】根据题意，有：由③－②，得：代入②，解得：j=0.07。1222236262336nnnnnnnnnnnPVaaPVvaaavavaa又从而①②＝，③133010110nnnnvaavjj故即，，，2．期初付年金（1）定义：是指在每个付款期间开始时付款的年金。①期初付年金现值：表示每期期初付款额为1，每期利率为i的n期年金，各现值和：②期初付年金终值：表示每期期初付款额为1，每期利率为i的n期年金在第n期期末的积累值：（2）常用关系式：（3）常用关系式：221112.3nnnnvvvvvda1211(1)(1)(1)(1)2.4nnnniiiiids111111nnnnnnnnndvdaissaidas11(1)(1)11nnnnnnnniiaassaass【例题2.4】某人用2000元一次性购买了15年确定年金，假定年利率为6%，第一次年金领取从购买时开始，计算每次可以领取的金额为（）元。[2008年春季真题]A．167.45B．177.45C．180.13D．194.27E．204.18【答案】D【解析】设每次领取的金额为P，则有：故P＝2000/10.295=194.27（元）。【例题2.5】某年金分20年于每月月初支付30元。利息每月转换一次，年名义利率为12%，则该年金现值为（）元。[2008年春季真题]A．2652.52B．2751.84C．2755.42D．2814.27E．2842.33【答案】B【解析】月实际利率为：12%÷12＝0.01。该年金现值为：150.062000Pa15150.0611.0610.29500.061.06a又，2402400.0111.0130302751.840.01a元（）【例题2.6】若则下列表达式中与等价的是（）。【答案】D【解析】mnspsq，，mnaABC111111DE1111vqpdpqvqpdpqvqpdpqipdqipdqiqdpvqpdpqvqpdpqipdqipdq．．　　．．．111mmmivspii因为，1mvip所以；1111nnnnivsqvdqdd又因为所以，。11111mnmnvipdqvipdq故有即，，1111111mnmnipdqvqpdpqvaiiipdq所以，。3．任意时刻的年金值（1）延期年金①定义：指以当前时刻为0时刻，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。②三种一般的延期年金：a．首期付款前某时刻的年金现值；b．最后一期付款后某时刻的年金积累值；c．付款期间某时刻年金的当前值。图2.1为三种一般的延期年金的范例图2.1付款次数为5，首次付款发生在时刻2，末次付款发生在时刻6。则时刻0时的年金现值就是延期年金现值，相当于a中的情况；时刻10时的年金积累值相当于ｂ中的情况；时刻4时的年金当前值相当于c中的情况。另外，这5次付款在时刻l时的年金现值是一个5期的期末付款额为l的年金现值即；在时刻2的年金现值是，在时刻6的年金积累值为，在时刻7的年金积累值为。5a5a5s5s（2）在首期付款前某时刻的年金现值①第m期开始支付，每期期末付款1个单位，共付款n期的年金现值为：②第m期开始支付，每期期初付款1个单位，共付款n期的年金现值为：（3）在最后一期付款后某时刻的年金积累值①第1期开始支付，每期期末付款1个单位，共付款n期的年金在（m＋n）时刻的积累值为：②第1期开始支付，每期期初付款1个单位，共付款n期的年金在（m＋n）时刻的积累值为：（4）付款期间某时间的年金当前值①每期付款1个单位的n年期期末付年金在m（0＜m＜n）时刻的当前值为：②每期付款1个单位的n年期期初付年金在m（0＜m＜n）时刻的当前值为：(0)2.5mnmnmVvaaa(0)2.6mnmnmVvaaa()12.7mnmnmVmnsiss()12.8mnmnmVmnsiss()12.9mnmnnmnmVmaivssa()12.10mnmnnmnmVmaivssa【例题2.7】则i=（）。A．8.09%B．8.29%C．8.49%D．8.69%E．8.89%【答案】B【解析】4．永续年金（1）永续年金：付款次数没有限制，永远持续的年金。（2）永续年金的现值：①期末付永续年金的现值：②期初付永续年金的现值：注意，永续年金的最终值不存在，因为给付没有终点时刻，且无穷的均衡给付导致积累值变为无穷大。711185.1537.0369.180aaa已知，，。1171811aava由于所以，：11181179.1807.0360.416075.153aava111110.4160710.0829iv故。＝112.11nnvai012.12nnvda【例题2.8】甲、乙、丙、丁四人从一个等额的永久年金中获得支付，甲、乙、丙在前n年的年末获得相等的支付，n年后的支付全归丁所有，如果四个人获得支付的现值相等，则vn等于（）。[2008年春季真题]A．1/4B．1/5C．1/6D．1/7E．1/8【答案】A【解析】设年金的支付额为P，则甲、乙、丙的现值为：，丁的现值为：，【例题2.9】甲、乙、丙三人共同为某学校设立总额为10000元的奖学基金，该基金以永续年金的方式每年末支付一次。甲、乙、丙经协商，决定由甲为前8年的支付出资，乙为接下来的10年的支付出资，余下的支付由丙出资。假设基金采用的年实际利率为8%，则乙、丙两人的出资额之和为（）元。A．2503B．2900C．4597D．5403E．4099【答案】D【解析】解法①：由题意可知学校每年可从该基金中取出的用做奖学金的金额为：故乙、丙两人的出资额之和=2900.20+2502.49=5402.69（元）。解法②：乙、丙两人的出资额之和即总出资额与甲的出资额之差。故乙、丙两人的出资额之和=10000－4597.31=5402.69（元）。3nPanPvi1/43nnnPPavvi由题意得：，解得：。11000010000800iRa元（）18818800()2900.20800()2502.49aaaa乙的出资额元丙的出资额元（）（）88004597.31a而甲的出资额元（），5．年金的非标准期问题假定整个付款期长度为n+k，0＜k＜1，前n期各期期末付款额为1，在时刻n+k时，有一个对应于k期间长度的年金式零头付款，则这种年金现值：显然，n+k时刻的零头付款额为。6．年金的未知时间问题（1）上浮式付款：当付款期限不是整数时，在最后一次规则付款的额度上外加一个根据等价计算出来的零头，最后的零头付款称为上浮式付款。（2）扣减式付款：当付款期限不是整数时，在最后一次规则付款的下一期支付一个根据等价计算出来的零头，最后的零头付款称为扣减式付款。1112.13knknknknivviaai11kii【例题2.10】某人购房借款50000元，计划每年末还款10000元，直到还完。设利率为7%，借款人还款的整数次数为n。现有以下三种方式偿还最后的零头：（1）在时刻n偿还；（2）按年金支付规律，在时刻n与时刻n+1之间偿还；（3）在时刻n+1偿还。则整数n以及三种方式最后还款零头的总额分别为（）元。A．5；3503.61B．5；3591.65C．5；3748.86D．6；10844.12E．6；10932.16【答案】D【解析】即前面6次还款额都是整数，故n=6。设f1，f2，f3分别为三种方式下最后还款的零头，则：10000500005nnaa由题意，得所以：，。67767611.0711.074.76655.38930.070.07aaanaa又所以，，＜，616616611000050000500001000015000047665.3971.073503.61afvfai由于所以元（），，（）。（2）设n=6+k，其中0k1，所以，解得：k=0.367，（3）所以故三种方式还款的零头总额为：f1+f2+f3=10844.12（元）。6615kkvai0.3672111.07110000100003591.65kifii元＝（）7361000050000afv由于，7316500001000011.073