搜索
自考高数经管类概率论与数理统计课堂笔记第一章随机事件与随机事件的概率第二章随机变量及其概率分布第三章多维随机变量及概率分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律及中心极限定理第六章统计量及其抽样分布第七章参数估计第八章假设检验第九章回归分析预备知识概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。一、加法原则引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。一般地有下面的加法原则：办一件事，有m类办法，其中：第一类办法中有n1种方法；第二类办法中有n2种方法；……第m类办法中有nm种方法；则办这件事共有种方法。二、乘法原则引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？解：从北京经天津到上海的交通方法共有：①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。一般地有下面的乘法原则：办一件事，需分m个步骤进行，其中：第一步骤的方法有n1种；第二步骤的方法有n2种；……第m步骤的方法有nm种；则办这件事共有种方法。三、排列（数）从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作或。排列数的计算公式为：例如：四、组合（数）从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。组合数的计算公式为例如：=45组合数有性质（1），（2），（3）例如：例一，袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数（种）例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（√√√√√×××）从中任取3件，求所取3件中有2件正品1件次品的取法有多少种？解：第一步在5件正品中取2件，取法有：（种）第二步在3件次品中取1件，取法有：（种）由乘法原则，取法共有10×3=30（种）第一章随机事件与随机事件的概率第一节随机事件引例一，掷两次硬币，其可能结果有：｛上上；上下；下上；下下｝则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：｛1，2，3，4，5，6｝则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。（一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可能事件。例如，掷一次骰子，点数6的事件一定不出现，它是不可能事件。（二）基本（随机）事件随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用ω表示基本事件。例如，掷一次骰子，点数1，2，3，4，5，6分别是基本事件，或叫样本点。全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。（三）随机事件的关系（1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作。例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。所以A发生则必然导致B发生。显然有（2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件（四）事件的运算（1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作：或A+B例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝则和事件A+B=｛1，2，3，5｝显然有性质①②若，则有A+B=B③A+A=A（2）积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或A∩B例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则AB=｛1，3｝显然有性质：①②若，则有AB=A③AA=A（3）差事件：事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B）例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝，则A-B=｛5｝显然有性质：①②若，则有A-B=Φ③A-B=A-AB（4）互不相容事件：若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛2，4｝∴AB=Φ（5）对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，则显然，对立事件有性质：①②③注意：A与B对立，则A与B互不相容，反之不一定成立。例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间Ω。图1.1表示事件事件A图1.2阴影部分表示A+B图1.3阴影部分表示AB图1.4阴影部分表示A-B图1.5表示A与B互不相容图1.6阴影部分表示事件的运算有下面的规律：（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律（2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律（AB）C=A（BC）（3）A（B+C）=AB+AC（A+B）（A+C）=A+BC叫分配律（4）叫对偶律例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。（1）A，B，C三事件中，仅事件A发生（2）A，B，C三事件都发生（3）A，B，C三事件都不发生（4）A，B，C三事件不全发生（5）A，B，C三事件只有一个发生（6）A，B，C三事件中至少有一个发生解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）A+B+C例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3解：（1）（2）（3）（4）例3，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示下列事件。（1）A，B都发生且C不发生（2）A与B至少有一个发生而且C不发生（3）A，B，C都发生或A，B，C都不发生（4）A，B，C中最多有一个发生（5）A，B，C中恰有两个发生（6）A，B，C中至少有两个发生（7）A，B，C中最多有两个发生解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）简记AB+AC+BC（7）简记例4，若Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝求（1）A+B；（2）AB；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），（8）。解：（1）A+B=｛1，2，3，5｝；（2）AB=｛1，3｝；（3）=｛2，4，6｝；（4）=｛4，5，6｝；（5）=｛4，6｝；（6）=｛2，4，5，6｝；（7）=｛2，4，5，6｝；（8）=｛4，6｝由本例可验算对偶律，=，=正确例5，（1）化简；（2）说明AB与是否互斥解：（1）（2）例6.A，B，C为三事件，说明下列表示式的意义。（1）ABC；（2）；（3）AB；(表示至少A与B都发生的事件)（4）解（1）ABC表示事件A，B，C都发生的事件（2）表示A，B都发生且C不发生的事件（3）AB表示事件A与B都发生的事件，对C没有规定，说明C可发生，也可不发生。∴AB表示至少A与B都发生的事件（4）所以也可以记AB表示，ABC与中至少有一个发生的事件。例7.A，B，C为三事件，说明（AB+BC+AC）与是否相同。解：（1）表示至少A，B发生它表示A，B，C三事件中至少发生二个的事件。（2）表示A，B，C三事件中，表示A，B，C三事件中仅有二个事件发生的事件。因而它们不相同。第二节随机事件的概率一、频率（1）在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生了nA次，则事件A发生的次数nA叫事件A发生的频数。（2）比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fn（A），即历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用A表示出现正面的事件：试验人nnAfn（A）摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016从上表可见，当试验次数n大量增加时，事件A发生的频率fn（A）会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件A的频率fn（A）的稳定值大约是0.5。二、概率事件A出现的频率的稳定值叫事件A发生的概率，记作P（A）实际上，用上述定义去求事件A发生的概率是很困难的，因为求A发生的频率fn（A）的稳定值要做大量试验，它的优点是经过多次的试验后，给人们提供猜想事件A发生的概率的近似值。粗略地说，我们可以认为事件A发生的概率P（A）就是事件A发生的可能性的大小，这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。下面我们不加证明地介绍事件A的概率P（A）有下列性质：（1）0≤P（A）≤1（2）P（Ω）=1，P（Φ）=0（3）若A与B互斥，即AB=Φ，则有P（A+B）=P（A）+P（B）若A1，A2，……，An互斥，则有：三、古典概型若我们所进行的随机试验有下面两个特点：（1）试验只有有限个不同的结果；（2）每一个结果出现的可能性相等，则这种试验模型叫古典概型。例如，掷一次骰子，它的可能结果只有6个，假设骰子是均匀的，则每一种结果出现的可能性都是1/6，所以相等，这种试验是古典概型。下面介绍古典概型事件的概率的计算公式：设是古典概型的样本空间，其中样本点总数为n，A为随机事件，其中所含的样本点数为r则有公式：例1，掷一次骰子，求点数为奇数点的事件A的概率。解：样本空间为Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝∴n=6，r=3例2.掷三次硬币，设A表示恰有一次出现正面，B表示三次都出现正面，C表示至少出现一次正面，求：（1）P（A）；（2）P（B）；（3）P（C）解：样本空间Ω=｛正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反｝；（1）（2）（3）由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的计算公式只需知道样本空间中的样本点的总数n和事件A包含的样本点的个数r就足够，而不必一一列举样本空间的样本点，因此，当样本空间的样本点总数比较多或难于一一列举的时候，也可以用分析的方法求出n与r的数值即可。例3，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数码中，取出三个不同的数码，求所取3个数码不含0和5的事件A的概率。解：从10个不同数码中，任取3个的结果与顺序无关，所以基本事件总数A事件中不能有0和5，所以只能从其余8个数码中任取3个，所以A中的基本事件例4，从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取一个，放回后再取一个，求所取两个数字不同的事件A的概率。解：（1）第一次取一个数字的方法有9种；第二次取一个数字的方法与第一次相同也是9种；由乘法原则，知两次所取的数字方法有9×9=92（种）每一种取法是一个基本事件，所以n=92（2）所取两个数字不同时，相当于从中任取两个数，其