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课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破第二章函数、导数及其应用第八节函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与____有交点⇔函数y＝f(x)有______．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有______________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得__________.f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)＜0(a，b)f(x0)＝02．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点_________________无交点零点个数210(x1,0)，(x2,0)(x1,0)3.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且______________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间__________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)＜0一分为二零点1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3B[∵f(－1)＝1e－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(x)在(－1,0)内有零点，又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1A[由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cosx是偶函数又有零点．]4．(2017·浙江五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(－2，－1)D．(－1,0)D[∵f(－2)＝－359，f(－1)＝－23，f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D.]5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.【导学号：51062055】13，1[∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)＜0，∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得13＜a＜1，∴实数a的取值范围是13，1.]函数零点所在区间的判断(1)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)(2)函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．(1)B(2)存在[(1)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．(2)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f(1)·f(8)＜0，又f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．][规律方法]判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．[变式训练1](1)已知函数f(x)＝lnx－12x－2的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)(2)在用二分法求方程x2－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．(1)C(2)32，2[(1)∵f(x)＝lnx－12x－2在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝ln1－12－1＝ln1－2＜0，f(2)＝ln2－120＜0，f(3)＝ln3－121＞0，∴x0∈(2,3)，故选C.(2)在(1,2)内取中点x0＝32，令f(x)＝x3－2x－1.∵f32＝278－4＜0，f(2)＝8－4－1＞0，f(1)＜0，∴f(x)＝0的根在32，2内．]判断函数零点的个数(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4(2)(2017·杭州学军中学模拟)函数f(x)＝lnx－x2＋2x，x＞0，4x＋1，x≤0的零点个数是________．(1)B(2)3[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝12x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．(2)当x＞0时，作函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0得x＝－14，综上，f(x)有3个零点．][规律方法]判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2]函数f(x)＝2sinxsinx＋π2－x2的零点个数为________．2[f(x)＝2sinxsinx＋π2－x2＝2sinxcosx－x2＝sin2x－x2，由f(x)＝0，得sin2x＝x2.设y1＝sin2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点．]函数零点的应用(2017·宁波市模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．[思路点拨]先作出函数f(x)的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．[解]由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，6分所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根，则满足a＞1，f6＜2，f10＞2，10分如图，即a＞1，loga6＜2，loga10＞2，解得6＜a＜10.故a的取值范围是(6，10).15分[规律方法]已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[变式训练3](1)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)(2)已知函数f(x)＝|x|，x≤m，x2－2mx＋4m，xm，其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________.【导学号：51062056】(1)C(2)(3，＋∞)[(1)∵函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.(2)作出f(x)的图象如图所示．当xm时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2m，即m2－3m0.又m0，解得m3.][思想与方法]1．转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断．(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法．[易错与防范]1．函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．