浙江专版2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9节函数模型及其应用课件

课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破第二章函数、导数及其应用第九节函数模型及其应用1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝_____________．(2)反比例函数模型：y＝___＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．kx＋b(k≠0)kx2．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性______________________________增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与_____平行随x的增大逐渐表现为与_____平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax单调递增单调递增单调递增y轴x轴3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)幂函数增长比直线增长更快．()(3)不存在x0，使ax0＜xn0＜logax0.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A．100只B．200只C．300只D．400只B[由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log39＝200.]3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y＝2xB．y＝log2xC．y＝12(x2－1)D．y＝2.61cosxB[由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23＝8，不合要求，B中y＝log23∈(1,2)，C中y＝12(32－1)＝4，不合要求，D中y＝2.61cos3＜0，不合要求，故选B.]4．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()B[由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.]5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________.【导学号：51062066】1＋p1＋q－1[设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝1＋p1＋q－1.]用函数图象刻画变化过程(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()ABCD(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()ABCD(1)A(2)D[(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4x≤8时，f(x)＝8；当8x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.][规律方法]判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．[变式训练1]设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()D[y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.]应用所给函数模型解决实际问题某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图2­9­1①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2­9­1②.(注：利润和投资单位：万元)①②图2­9­1(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解](1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2x(x≥0).4分(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝29＝6，所以总利润y＝8.25万元.6分②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．则y＝14(18－x)＋2x，0≤x≤18.9分令x＝t，t∈[0,32]，则y＝14(－t2＋8t＋18)＝－14(t－4)2＋172.所以当t＝4时，ymax＝172＝8.5，12分此时x＝16,18－x＝2.所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.15分[规律方法]求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．[变式训练2]某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝C，0＜x≤A，C＋Bx－A，x＞A.已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元A[根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝4，0＜x≤5，4＋12x－5，x＞5，所以f(20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A.]构建函数模型解决实际问题(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价收费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.(1)B(2)9[(1)设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n200，得1.12n2013，两边取常用对数，得nlg2－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．(2)设出租车行驶了xkm，付费y元，由题意得y＝9，0＜x≤3，8＋2.15×x－3＋1，3＜x≤8，8＋2.15×5＋2.85×x－8＋1，x＞8.当x＝8时，y＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x－8)＋1＝22.6，得x＝9.][规律方法]构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f(x)＝x＋ax(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．[变式训练3](2017·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.【导学号：51062067】2500[L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120Q2＋30Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500.当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元．][思想与方法]1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．2．实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值．3．解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．[易错与防范]1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．