浙江专版2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入课件

课时分层训练抓基础·自主学习明考向·题型突破第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若______，则a＋bi为实数，若______，则a＋bi为虚数，若____________，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝_______.b＝0b≠0a＝0且b≠0a＝c，b＝da＝c，b＝－da2＋b22．复数的几何意义复数z＝a＋bi复平面内的点_________平面向量_____________．3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝_______________.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________________.z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．Z(a，b)(ac－bd)＋(bc＋ad)iOZ→＝(a，b)(a±c)＋(b±d)i(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图4­4­1所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝_________，Z1Z2→＝_________.图4­4­1OZ1→＋OZ2→OZ2→－OZ1→1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编)如图4­4­2，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D图4­4­2B[共轭复数对应的点关于实轴对称．]3．设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝()A．0B．2C．2iD．2＋2iC[(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.]4．复数1＋2i2－i＝()A．iB．1＋iC．－iD．1－iA[法一：1＋2i2－i＝1＋2i2＋i2－i2＋i＝5i5＝i.法二：1＋2i2－i＝i1＋2ii2－i＝i1＋2i2i＋1＝i.]5．复数i(1＋i)的实部为________．－1[i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.]复数的有关概念(1)若z＝1＋2i，则4izz－1＝()A．1B．－1C．iD．－i(2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．(1)C(2)－2[(1)因为z＝1＋2i，则z＝1－2i，所以zz＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4izz－1＝4i4＝i.故选C.(2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.][规律方法]1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．[变式训练1](1)(2017·嘉兴二次质检)已知i为虚数单位，复数z＝i2＋i的虚部为()A．－15B．－25C.15D.25(2)设z＝11＋i＋i，则|z|＝()A.12B.22C.32D．2(1)D(2)B[(1)复数z＝i2＋i＝i2－i2＋i2－i＝1＋2i5＝15＋25i，则其虚部为25，故选D.(2)z＝11＋i＋i＝1－i2＋i＝12＋12i，|z|＝122＋122＝22.]复数代数形式的四则运算(1)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i(2)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则ab的值为________.【导学号：51062150】(1)C(2)2[(1)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝i＋1i＝1－i，∴z＝2－i，故选C.(2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴ab＝2.][规律方法]1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．[变式训练2](1)已知1－i2z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i(2)已知i是虚数单位，1＋i1－i8＋21－i2018＝________.(1)D(2)1＋i[(1)由1－i2z＝1＋i，得z＝1－i21＋i＝－2i1＋i＝－2i1－i1＋i1－i＝－1－i，故选D.(2)原式＝1＋i1－i8＋21－i21009＝i8＋2－2i1009＝i8＋i1009＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]复数的几何意义(1)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i(1)A(2)A[(1)由题意知m＋3＞0，m－1＜0，即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．(2)∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2,1)即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.][规律方法]1.复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ→.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[变式训练3](2017·湖州二次质检)定义运算a，bc，d＝ad－bc，则符合条件z，1＋i－i，2i＝0的复数z对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B[由题意得z×2i－(1＋i)(－i)＝0，所以z＝1＋i－i2i＝－12－12i，则z＝－12＋12i在复平面内对应的点为－12，12，位于第二象限，故选B.][思想与方法]1．复数分类的关键是抓住z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数．2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．[易错与防范]1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，应注意a，b，c，d∈R的前提条件．4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z20在复数范围内有可能成立．