矩阵特征值方法研究与初探

ANYANGINSTITUTEOFTECHNOLOGY本科毕业论文矩阵特征值的计算方法初探Studyoncalculationmethodofthematrixfeature学院：数理学院专业班级：信息与计算科学09-1学生姓名：王江朋学号：200911010004指导教师姓名：刘肖云指导教师职称：讲师2013年5月毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果.尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得安阳工学院及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料.对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意.作者签名：日期：指导教师签名：日期：使用授权说明本人完全了解安阳工学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容.作者签名：日期：矩阵特征的计算方法初探摘要：矩阵是主要的研究工具，而且在很多领域都有很重要的应用.矩阵的特征值是矩阵应用的一个重点之一，在科学研究方面具有重要的地位.进行矩阵特征值的讨论可以直接用来解决实际的问题.矩阵特征的计算方法初探，引入矩阵的定义以及性质，主要介绍了矩阵的普通矩阵特征值的求法和求解矩阵的一些其他优化方法.其中求解矩阵的普通方法包括传统的求法以及初等变换求矩阵的特征值方法；其他的一些优化方法包括幂法、反幂法、Jacobi方法、QR方法.在实际的求解矩阵特征值的问题，根据矩阵的不同特点，选择最快速的方法求解，从而达到最优化解决实际问题.关键词：矩阵矩阵特征值幂法反幂法Jacobi方法QR方法StudyoncalculationmethodofthematrixfeatureAbstract：Thematrixisthemainresearchtool,andhasveryimportantapplicationinmanyfields.Theeigenvalueofthematrixisoneofthekeymatrixapplication,hastheimportantstatusinthefieldsofscientificresearch.Discussionofmatrixeigenvaluescanbedirectlyusedtosolvepracticalproblems.Calculationofmatrixcharacteristic,introducingthedefinitionofmatrixandproperties,mainlyintroducesthecommonmatrixeigenvaluematrixvaluecalculationmethodsandsomeotheroptimizationmethodforsolvingmatrix.Onecommonmethodforsolvingmatrixeigenvalueapproachmethodincludingtraditionalandelementarytransformationmatrix;someotheroptimizationapproachesincludingpowermethod,inversemethod,QRmethod,Jacobimethod.Insolvingthematrixcharacteristicsofpracticalvalueoftheproblem,accordingtodifferentcharacteristicsofmatrix,solvingmethodtoselectthemostquickly,soastoachievetheoptimizationtosolvepracticalproblems.Keywords：matrixmatrixeigenvaluepowermethodinversepowermethodJacobimethodQRmethod目录第1章矩阵特征值的定义以及性质...........................................................................................................21.1矩阵特征值与特征向量的定义.............................................................................................................21.2矩阵特征值的性质................................................................................................................................2第2章普通矩阵特征值的求法.....................................................................................................................22.1传统方法................................................................................................................................................22.2初等变换求矩阵的特征值.....................................................................................................................3第3章求解矩阵特征值的其他优化方法.....................................................................................................43.1幂法........................................................................................................................................................43.2幂法......................................................................................................................................................103.3Jacobi方法.............................................................................................................................................113.4QR方法.................................................................................................................................................15结论.................................................................................................................................................................19致谢.................................................................................................................................................................20参考文献.........................................................................................................................................................21附录.................................................................................................................................................................221引言1课题的主要内容随着电子计算机的普及和记忆电子技术的迅猛发展，矩阵特征值的计算越来越被从事计算数学的人们所关注，在现有的经典Jacobin算法、QR算法的基础上，出现了一些新的计算方法，还有一些实在这积累算法基础上进行改进的，都有很大的实用性.本文首先介绍矩阵特征值的概念，接着引出求特征值的普通使用的常规方法，在此基础上进行改进的新方法，对各种方法进行适用性及复杂性的比较，最后在不同的分类矩阵问题上探索矩阵特征值的最佳方法，运用于实际的求解问题当中.2课题的目的和意义本文通过对矩阵特征值的概念的引入，给出一些特征值的方法.根据不同的矩阵，探讨不同种类的矩阵，探讨能够运用最合适的方法进行特征值的求解，使得在以后的学习中，对矩阵的计算方法的问题上能够灵活的运用各种方法.矩阵特征值的问题在许多领域的研究有重要的地位，是高等代数学习的一个重要内容，也是一个基础性的知识，所以熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论和计算方法是非常必要的矩阵特征值问题不仅可直接解决数学中诸如非线性规划、优化、常微分方程，以及各种数学计算问题，而且在结构力学、工程设计、计算物理和量子力学中具有重要作用，目前矩阵特征值问题的应用大多来自解数学物理方程、差分方程等.正因为它具有重要意义和广泛的应用，所以矩阵特征值问题是当前国内外高性能计算机的主要任务之一.2第1章矩阵特征值的定义以及性质1.1矩阵特征值与特征向量的定义设A是n阶方阵，如果存在数和非零n维列向量x，使得Axx成立，则称是A的一个特征值或本征值.非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量.1.2矩阵特征值的性质设为nnAR的特征值,且0Axxx，则有⑴c为的cA特征值(c≠0为常数)；⑵p为ApI的特征值，即ApIxpx；⑶k为Ak的特征值，即Akxkx；⑷设A为非奇异矩阵，那么0,且1为1A的特征值，即11Axx.第2章普通矩阵特征值的求法2.1传统方法求解矩阵特征值的传统方法，即求解Axx，等价于求，使得0IAx，其中I是单位矩阵，0为零矩阵.0IA，求得的值即为A的特征值.IA是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值.例：求矩阵011111