大一(上)-微积分-知识点(重点)

大一（上）微积分知识点第一章函数一、AB=,则A、B是分离的。二、设有集合A、B，属于A而不属于B的所有元素构成的集合，称为A与B的差。A-B={x|xA且xB}（属于前者，不属于后者）三、集合运算律：交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致；摩根律：交的补等于补的并。四、笛卡尔乘积：设有集合A和B，对xA,yB，所有二元有序数组（x,,y）构成的集合。五、相同函数的要求：定义域相同对应法则相同六、求反函数：反解互换七、关于函数的奇偶性，要注意：1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数；2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(fDx，)()(xfxf成立，则)(xf为偶函数；若对所有的)(fDx，)()(xfxf成立，则)(xf为奇函数；若)()(xfxf或)()(xfxf不能对所有的)(fDx成立，则)(xf既不是奇函数也不是偶函数；3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。第二章极限与连续一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。三、无穷小量的几个性质：1、limf(x)=0，则2、若limf(x)=)(limxg=0，则0)()(limxgxf3、若limf(x)=)(limxg=0，则lim)(xf·)(xg04、若g(x)有界（|g(x)|＜M），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x）=0四、无穷小量与无穷大量的关系：若y是无穷大量，则y1是无穷小量；若y（y0)是无穷小量，则y1是无穷大量。五、无穷小量的阶数比较（假设0)(lim)(limxgxf)：若0)()(limxgxf称f(x)是较g（x)高阶的无穷小量；若)()(limxgxf称f(x)是较g（x)低阶的无穷小量；若)0(g(x)f(x)limCC称f(x)是较g（x)同阶的无穷小量；④若1)()(limxgxf称f(x)是较g（x)等价的无穷小量，记为)(~)(xgxf。六、极限的运算法则：lim)(yx=yxlimlimxlim·y=xlim·ylimClim·y=yClim④nxlim=)(limxn⑤xnlim1=)(lim1xn⑥yxyxlimlimlim0limy七、求极限的几种技巧：当极限过程是x时，除以最高次项；当带有根号时，进行有理化；当遇到分式的加、减运算时，进行通分；④当极限过程是x时，分子最高次项的指数低于分母最高次项的指数时，结果为0；分子最高次项的指数高于分母最高次项的指数时，结果为；分子、分母最高次项的指数相等时，结果为最高次项的系数比。八、两个重要极限：)0(1sinlimxxx)0(1tanlimxxx)()11lim(xexx)0()1lim(1xexx九、等价无穷小量（乘积的时候才可以换）：)0(~sinxxx)0(~tanxxx)0(~arcsinxxx)0(~arctanxxx)0(2~cos12xxx)0(~11xnxxn)0(~)1ln(xxx)0(~1xxex十、证明在某一点ox处连续：需证明))(()(limooxxxfxf十一、出现函数的间断点的情况：在点ox处）（xf没有定义；))((limoxxxf不存在；虽然)(oxf有定义，且))((limoxxxf存在，但)())((limooxfxxxf十二、间断点分类：1、第一类间断点：如果函数）（xf在点oxx处的左、右极限都存在，但不全等于)oxf（，就称点oxx为）（xf的第一类间断点。可去间断点（属于第一类间断点）：函数间断点的左、右极限存在并相等，只是不等于该点的函数值，那么我们可以重新定义函数在间断点的值，使得所形成的函数，在该点连续。跳跃间断点（属于第一类间断点）：函数间断点的左、右极限存在但不相等。2、第二类间断点：如果函数）（xf在点oxx处的左、右极限至少有一个不存在，就称点oxx为）（xf的第二类间断点。无穷间断点（属于第二类间断点）：只要左右极限有一个为。振荡间断点十三、介值定理：如果函数）（xf在闭区间ba,上连续，m和M分别为）（xf在ba,上的最小值和最大值，则对介于m与M之间的任一实数c（即Mcm），至少存在一点ba,，使得Cf。推论：如果函数）（xf在闭区间ba,上连续，且af与bf异号，则至少存在一点ba,，使得0f。第三章导数与微分1、xy在0x处不可导（1xy就在1x处不可导)第五章不定积分一、基本积分公式表：1、为常数）（CCdx02、)1(11aCaxdxxaa3、Cxdxxln14、)1,0(ln1aaCaadxaxx5、Cedxexx6、Cxxdxcossin7、Cxxdxsincos8、Cxdxxcotcsc29、Cxxdxtansec210、Cxxdxarcsin1211、Cxxdxarctan1212、Cxxdxcoslntan13、Cxxdxsinlncot14、Cxxxdxtanseclnsec15、Cxxxdxcotcsclncsc16、)0(arctan122aCaxaxadx17、)0(ln2122aCxaxaaxadx18、)0(arcsin22aCaxxadx19、)0(ln2222aCaxxaxdx20、)0(2arcsin222222aCxaxaxadxxa二、一般地，如被积函数含有nbax，令nbax=t，可以消去根号，如被积函数含有nx，mx，令kx=t，k为m与n的最小公倍数，可同时消去两个根号。三、三角代换：被积函数含有22xa，可作代换taxsin或taxcos被积函数含有22xa，可作代换taxtan或taxcot被积函数含有22a-x，可作代换taxsec或taxcsc化被积函数为新变量t的三角函数的积分，积分后将新变量t还原为原积分变量x时，可借助直角三角形的边角关系找出积分结果中新变量t的三角函数还原为原积分变量的关系式。