小学六年级下册数学练习题：第12讲.多次相遇与追及(解析版)

五年级寒假时钟问题五年级春季比例法解行程问题六年级暑期多次相遇与追及六年级秋季变速问题六年级寒假行程模块综合选讲总结多次相遇与追及的规律，利用比例、线段图、柳卡图解决多次相遇与追及问题人与人的相遇是一种缘不管是擦肩而过，还是一次美丽的邂逅，都是一种缘缘会让来自不同世界的人走到一起例如今天我们是来自不同学校的同学，汇集到一起来学而思学习，这就是缘分，而且我们已是多次相遇，恰巧今天又要学习多次相遇与追及问题，那该是多大的缘分呀!缘是一个经历了心灵的过程，在这个过程里有些东西不仅仅是灵魂的一种体验，而且还是精神上的一种拥有为了这来之不易的缘分，让我们一起进入今天的课程，体会那精神上的享受！1.理解多次相遇与追及的规律，并能运用相应规律解决行程相关的问题2.掌握用柳卡图解决多次相遇与追及问题的技巧，体会柳卡图与线段图在解决行程问题中的联系与区别一、往返相遇问题的重要结论：设一个全程中甲走的路程为M,乙走的路程为N⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题：⑵同一出发点的直线型多次相遇问题二、柳卡图柳卡图实质上是中学学习的S-T图的变形，即出现两条横轴（时间），纵轴（路程）忽略在画柳卡图时，最好是先画一个人往返于两地间的路线，并标注到达两地的时刻，接着再画另一人所走路线并标注到达两地的时刻，相交点即相遇地点，最后再利用几何中沙漏模型解决相关问题相遇次数甲乙共走的路程和甲共走的路程乙共走的路程11MN233M3N355M5N…………n21n(21)nM(21)nN相遇次数甲乙共走的路程和甲共走的路程乙共走的路程122M2N244M4N366M6N…………n2n2nM2nN1小白从家骑车去学校，每小时15千米，用时2小时，回来以每小时10千米的速度行驶，需要多少时间？【分析】从家到学校的路程：15230（千米），回来的时间30103（小时）．2两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米甲、乙两车相遇时，用了___小时【分析】根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），3两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，5小时后，甲、乙两车还相距多少千米？【分析】两车的相距路程减去5小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：480(4042)548041070（千米）．4甲、乙二人同时从相距10千米的两地出发，同向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，经过几小时甲追上乙？【分析】10÷（6—4）=5（小时）5A、B两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A、B两地同一方向开出，甲车每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车能追上乙车？【分析】28÷(32－25)＝28÷7＝4(小时)6①同样的路程，甲乙的速度比为3：2，则甲乙的时间之比为____；②同样的时间，甲乙的速度比为3：2，则甲乙走的路程之比为____；③同样的速度，甲乙用的时间比为3：2，则甲乙走的路程之比为_____.【分析】①2:3②3:2③3:2模块一：多次相遇的认识例1：求全程个数例2：柳卡图的认识模块二：多次相遇与追及规律的应用例3、例4：两次相遇与追及的应用例5：多次相遇与追及的规律运用甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？（学案对应：学案1）【分析】方法一：10分钟两人共跑了(32)60103000米300010030个全程．我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1,3,5,7,…,29共15次．方法二：第一次两个人相遇需要100(32)20(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200(32)40(秒)所以一共相遇：(106020)40115.5(次)，即为15次．【想想练练】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【分析】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：1006410（）(秒)．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了126010710(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：1006410（）(秒)，(126010)(102)3510，共相遇35136(次).注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．如图，甲、乙两人在相距70米的甲乙两端同时出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为3:4，他们相遇的地点分别用A、B、…、G表示，问：（1）A点到甲地的距离为米；（2）B点到甲地的距离：B点到乙地的距离=：；（3）C点到乙地的距离为米；（4）F点到G点的距离为米（提示：F点到甲地的距离减去G点到甲地的距离）【分析】（1）30米；（2）5:2；（3）60米；（4）20米GFEDCBA乙甲24201684242118151296321甲、乙两车分别从,AB两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，两车相遇后继续行进，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回．已知两车第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是50千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A、B两地相距＿＿＿千米．（学案对应：学案2）【分析】方法一：线段图，根据题意甲乙速度比是3:2，因此可以设全程为5份，画图如下：（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是5025125（千米）方法二：柳卡图，由于甲乙速度比是3:2，因此甲乙各走一个全程所用的时间比是2:3，画图如下（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是3150()12555（千米）【想想练练】甲、乙两人同时从A、B两地同时出发，甲的速度是乙的速度的1.5倍，到达对方出发点后立即返回，如果第一次相遇点和第二次相遇点相距300米，那么，A、B两地的距离为__米.【分析】方法一：将,AB间等分为5份，甲每走3份乙走2份，甲、乙相遇情况如下图：,AB两地的距离为30025750（米）.方法二：利用柳卡图，甲乙两人的速度比是3:2，因此走完一个全程所用时间的比是2:3,利用相似知识得CD间对应的分率是312555，,AB两地的距离为23007505（米）.21FEDCBA003642AB乙B甲A第1次相遇点第2次相遇点3（A版（1）~（2））⑴甲、乙两车同时从A、B两地相对开出驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回距离是千米⑵甲、乙两车同时从A、B两地相对开出驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回距离是千米⑶甲、乙两车同时从A、B两地相对开出驶，各自达到B、A两地后，立即沿原路返回时，距A地千米⑷如图，A、B是圆的直径的两端次相遇，C离A点80米；在DCDBA4法国数学家柳卡·斯图射影几何与微分几何都作出了重要贡献世界各国的许多著名数学家“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约也有一艘轮船从纽约开往哈佛轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜条航线上问今天中午从哈佛开出的轮船船从对面开来?”问题提出后讨与激烈的争论，但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题这个有趣的数学问题称为“柳卡趣题”下面介绍的是柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法如下图：两地相对开出，两车第一次在距A地30千米处相遇立即沿原路返回，第二次在距B地20千米处相遇两地相对开出，两车第一次在距A地30千米处相遇立即沿原路返回，第二次在距A地60千米处相遇两地相对开出，两车第一次在距A地80千米处相遇立即沿原路返回，第二次在距B地60千米处相遇是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走D点第二次相遇，D点离B点60米．求这个圆的周长姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士他对射影几何与微分几何都作出了重要贡献在十九世纪的一次国际数学会议期间世界各国的许多著名数学家的晨宴快要结束的时候，柳卡向在场的数学家提出困扰他很久某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，也有一艘轮船从纽约开往哈佛轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们尽管为此问题大家进行但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题这个有趣的数学问题斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．千米处相遇，相遇后两车继续行千米处相遇，则A、B两地间的千米处相遇，相遇后两车继续行千米处相遇，则A、B两地间的千米处相遇，相遇后两车继续行千米处相遇，当甲乙第三次相遇点同时出发反向行走，他们在C点第一求这个圆的周长．年当选为法国科学院院士他对在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认，并且每天的同一时刻而且都是匀速航行在同一将会遇到几艘同一公司的轮果然一时难住了与会的数学家们尽管为此问题大家进行了广泛的探但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题这个有趣的数学问题，被数学界⑸小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为千米（学案对应：学案3）【分析】⑴3032070（千米）⑵(30360)275（千米）⑶,AB两地间相距80360180千米当第三次相遇时，两车所走路程和是5个全程，那么其中甲车走了805400千米，400180240，所以距A地40千米⑷第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一个周长．从出发开始算，两个人合起来走了一周半．因此，第二次相遇时两人合起来所走的路程是第一次相遇时合起来所走的路程的3倍，那么从A经过C到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是803240(米)．那么圆周上A到B的距离是24060180(米)．圆的周长为1802360(米)．⑸由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇．则甲、乙两地的距离为(336)27.5千米；②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王．在这个过程中，小王走了633千米，小李走了639千米，两人的速度比为3:91:3．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9312千米．所以甲、乙两地的距离为7.5千米或12千米【想想练练】如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行．它们第一次相遇在离A点8厘米处的B点，第二次相遇在离C点6厘米处的D点，问，这个圆周的长是多少？【分析】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了8厘米，第二次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了1个半圆周，其中从A点出发的应爬行8324(厘米)，比半个圆周多6厘米，半个圆周长为83618(厘米)，一个圆周长就是：(836)236(厘米)BA李王乙甲AB甲王李乙第一次相遇第二次相遇DCBA甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在A、B两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车速度的37，并且甲、乙两车第2012次相遇的地点和第2013次相遇的地点恰好相距12