二重积分的概念及几何意义

二重积分的概念及几何意义一、问题的提出二、二重积分的定义三、二重积分的几何意义一、问题的提出１．曲顶柱体的体积顶柱体．做曲上连续．这样的立体叫在且，这里面轴的柱面，它的顶是曲平行于线的边界曲线为准线而母是以，它的侧面面上的闭区域设有一立体，它的底是DyxfyxfzzDDxoy0),(),(xzo),(yxfzyD定义体积=曲边梯形面积的求法“分割、近似、求和、取极限”的思想方法平顶柱体的体积计算底面积×高曲顶柱体的体积计算以直线代曲线以平面代曲面步骤如下：个小闭区域分成先用曲线网把nD.,,,21nxzyoxyzo),(yxfz并取典型小区域,DiD),(ii用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积..),(lim10iiniifV曲顶柱体的体积２.求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM..0),(),,(),(,计算该薄片的质量续上连且在处的面密度为点它在面上的闭区域有　　设有一平面薄片占DyxyxyxDxOy),(iiiDxyO二、二重积分的定义,),(),,(.,,,,.),(21iiiiiiiinfDDiDDDnDDyxf作乘积任取一点上在每个的面积个小闭区域表示第用并个小闭区域任意划分成区域将闭上的有界函数是有界闭区域设　　niiiif1.),(并作和定义　即记作的二重积分上在闭区域则称此极限为函数的极限存在该和时径中的最大值如果当各小闭区域的直,d),(,),(,,0DyxfDyxf积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素.),(limd),(10iniiiDfyxf对二重积分(doubleintegral)定义的说明,ddd,d,,)1(yxDi积元素在直角坐标系中面和中的表示积分面积元素是任意的的划分对闭区域在定义中xyoD此时二重积分为.dd),(d),(DDyxyxfyxf.,),()2(上的二重积分必定存在那么它在上连续在闭区域如果函数DDyxf三、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值．二重积分的几何意义二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方取负．xyz0例根据二重积分的几何意义判断下例积分的值.，222222:,dayxDyxaD34π21d3222ayxaD解投影区域为圆域，222:ayxD被积函数为半球面.222yxaz由二重积分的几何意义，得xyzO.π323a