清华大学本校用理论力学课件8-1第二类拉格朗日方程

2020年4月28日第1节第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程及其应用第8章广义坐标中的达伦伯-拉格朗日原理理想完整约束系统：广义坐标为q1,q2,…,qN质点i矢径：12(,,,,)iiNqqqtrr质系动力学普遍方程：110nniiiiiiimfrar1Niikkkqqrr11nNiikkikQqfr1nikikiQqrf111nnNiiiiiikkiikmmqqrarr*kQ广义惯性力*10NkkkkQQq*0kkQQ完整系统广义主动力和广义惯性力相互平衡！11Nkiikikniqmqrr第二类拉格朗日方程及其应用第8章拉格朗日关系式iikkqqrr221Niiijkjkkjqqqqtqrrrddiikkqtqrr12(,,,,)iiNqqqtrr1Niiijjjqqtrrr对t求导kq对求导对qk求导1Niijjkkjqqqtqrr第二类拉格朗日方程及其应用第8章*1nikiikiQmqrr11ddddnniiiiiikkiimmtqtqrrrr11ddnniiiiiikkiimmtqqrrrr2211d11d22nniiiikkiimrmrtqqddkkTTtqqiikkqqrrddiikkqtqrr第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程及其应用第8章d,1,2,,dkkkTTQkNtqq如主动力都是有势力：kkVQqddkkkTTVtqqq*0kkQQ*ddkkkTTQtqq第二类拉格朗日方程0kVqd0,1,2,,dkkLLkNtqqL=T–V—拉格朗日函数，或动势主动力为势力时的拉格朗日方程d,1,2,,dkkkLLQkNtqq主动力既有势力又有非势力第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程及其应用第8章拉格朗日方程的方程数等于质系自由度数，是最少量方程不需要考虑理想约束的约束反力只需要分析速度，不需分析加速度拉格朗日方程是标量方程拉格朗日方程的特点第二类拉格朗日方程及其应用第8章应用拉格朗日方程的解题步骤为判断系统是否为完整约束，主动力是否有势，以决定能否应用拉格朗日方程以及应用何种形式的拉格朗日方程。确定系统的自由度数，选择合适的广义坐标。按所选的广义坐标，写出系统动能、势能或广义力。把动能、广义力或拉格朗日函数代入拉格朗日方程。拉格朗日方程应用举例第二类拉格朗日方程及其应用第8章行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m的均质曲柄AB带动行星齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。杆与轮铰接处的摩擦力忽略不计。当曲柄受力偶矩为M的常力偶作用时，用拉格朗日方程求曲柄的角加速度。例1第二类拉格朗日方程及其应用第8章取曲柄的转角为广义坐标。222121(29)()12TmmrrMQM22121(29)()6mmrrM22121(29)()6TmmrrddTTQt22126(29)()Mmmrr例1解第二类拉格朗日方程及其应用第8章用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程xxyABOgmAgmB例2第二类拉格朗日方程及其应用第8章例2解取x和为广义坐标cosBVmgl222222112211(2cos)22AABBABTmvmvmxmxllx系统的势能为系统的动能为LTV系统的拉格朗日函数为xxyABOgmAgmB第二类拉格朗日方程及其应用第8章0Lx()cosABBLmmxmlx2d()cossindABBBLmmxmlmltxsinsinBBLmlxmgl2cosBBLmlmlx2dcossindBBBLmlmlxmlxt22:()cossin0:cossin0ABBBBBBxmmxmlmlmlmlxmgl222211(2cos)cos22ABBLmxmxllxmgld0,1,2dkkLLktqq例2解第二类拉格朗日方程及其应用第8章用拉格朗日方程列写系统的运动微分方程。xrxOyxOxrxCvC例3第二类拉格朗日方程及其应用第8章例3解取x和xr为广义坐标。222222221111(2cos)222231()cos24rrrrrxTMxmxxxxmrrMmxmxmxxsinrVmgx2231()cossin24rrrLMmxmxmxxmgx0Lx()cosrLMmxmxxd()cosdrLMmxmxtx第二类拉格朗日方程及其应用第8章d3cosd2rrLmxmxtx:()cos03:cossin02rrrxMmxmxxmxmxmgd0,1,2dkkLLktqq例3解sinrLmgx3cos2rrLmxmxx2231()cossin24rrrLMmxmxmxxmgx第二类拉格朗日方程及其应用第8章半径为R的圆环在力偶矩为M的力偶作用下以角速度匀速转动，质量为m的小环可在圆环上自由滑动。已知圆环对y轴的转动惯量为J，忽略摩擦力。求为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M。xyRmORM例4第二类拉格朗日方程及其应用第8章解除匀速转动约束，代之于约束反力。系统具有两个自由度，取和为广义坐标。222221(sin)21cos2LJmRmRmgRxyRmORMMQM0L22(sin)LJmR222d(sin)2sincosdLJmRmRt例4解第二类拉格朗日方程及其应用第8章将约束条件和代入上式，即得为使圆环匀角速转动所需施加的力偶矩M为022sincosMmRddLLQt222(sin)2sincosMJmRmR例4解第二类拉格朗日方程及其应用第8章已知：m,M,k,a。求：系统运动微分方程。例5第二类拉格朗日方程及其应用第8章例5解选x,xr为广义坐标22211(2cos)22rrTMxmxxxx21()sin2rsrVkxmgxd0,1,2dkkLLktqq第二类拉格朗日方程及其应用第8章返回