机器人的鲁棒控制

机器人的鲁棒控制朱东方，王凯明长安大学数学与信息科学系，陕西西安（710064）E-mail：[e-mail]摘要：本文主要研究了机器人系统的鲁棒控制。本文第一部分中介绍了机器人的鲁棒控制模型。在本文第二部分中，利用最优控制问题求解鲁棒控制，这种方法降低的构造Liapunov函数的难度，只需要求解一个代数的黎卡提方程，便可得到最优控制器，而且证明了这个最优控制器也是鲁棒控制器。但又由于基于这种方法得到的控制器较复杂而难以实现，而且能得到渐近稳定的定性结果，而不能得到其平衡点的衰减速率以及平衡点的吸引域的估计。因此在本文的第三部分中应用了算子非线性测度理论。基于非线性测度方法求解的鲁棒控制器，不仅简单易求，而且克服了压缩映像原理估计压缩常数的困难，在得到系统渐近稳定性的同时得到了系统平衡点的衰减速度和吸引域的估计。在第四部分给出了两关节机器人鲁棒控制的的实例。关键词：机器人，鲁棒控制，最优控制，非线性测度中图分类号：O2311．引言在科技高速发展的当代社会，机器人开始在越来越多的领域上服务于人类，如海底的钻探、高精密的心脏手术、古墓穴的研究等等，所以机器人成为当代的热门话题。由于机器人系统自身操作过程中总会受到外界的干扰，以及在建模过程中总会有模拟误差，所以为了设计的机器人更实用更精确，机器人系统的鲁棒稳定性的研究就显得尤为重要。鲁棒控制的作用也就是使受控系统在控制器的作用下，外界的影响随着时间的推移逐渐消失。下面给出鲁棒控制的数学定义：定义1.1鲁棒控制对非线性系统(,)xFxu=，(0)0F=寻找控制器()ux使系统(,())xFxux=的零解渐近稳定。这样的控制器()uux=称为鲁棒控制器，这样的控制系统称为鲁棒控制系统。1.1机器人模型本文讨论下面的机器人系统[1]：1212121()(,)()xxMxxVxxGxτ=⎧⎨++=⎩(1)其中1()nnMxR×∈是惯性矩阵；12(,)Vxx表示离心力，哥氏力，摩擦力和其他的非结构不确定性(例如模拟的误差和外来的干扰)的向量；1()Gx表示与重力常数g有关的向量；τ为系统所受到的广义力。假设：①(0,0)0V=②10maxmax()(),(0)0GxGGxG−≤=。这两点保证了0x=是系统的一个平衡点。为了使系统方程中加入控制项，我们令01210,()((,)(()))uGfxVxxGxGτ=−=−+−，()(())xxxMxufx−=⎧⎨=+⎩(2)令12xxx⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，000IA⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，110()BMx−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，则xAxBuBf=++(3)1.2所研究的问题：寻找控制器()ux，使系统(3)的平衡点0x=渐近稳定。现有的文献证明渐近稳定的方法有以下两种。一是Liapunov直接方法。需要构造Liapunov函数，众所周知Liapunov函数的构造本身因为没有普遍适用的方法而非常困难，而且不能得到平衡点的衰减速度和吸引域的估计；二是压缩映象原理。需要估计一个压缩常数，而这个常数依赖于所研究的状态变量所在空间的向量范数。本文采用的这两种方法避免了这些问题。2．用最优控制方法求解鲁棒控制问题2.1鲁棒控制问题转化为最优控制问题用最优控制的方法[2]来解鲁棒控制问题，首先须将鲁棒控制问题转化为相应的最优控制问题，后再用变分法求解，并证明这最优控制即是鲁棒控制问题的解。(1)鲁棒控制问题：如果存在一个正定矩阵P使得对任意的()fx有||()||TfxxPx≤，寻求反馈控制率0()uux=使闭环系统xAxBuBf=++的零解渐近稳定。为了求解这个鲁棒控制问题，我们构造下面的最优控制问题。(2)最优控制问题：对辅助系统xAxBu=+，寻找一个反馈控制率0()uux=使得性能指标泛函000[]TTTJxPxxxuudt∞=++∫取得极小值。定理2.1求解鲁棒控制问题（1）可以转化为求解最优控制问题（2）：如果存在反馈控制率0()uux=使得性能指标泛函222max0[()||||||||]fxxudt∞++∫达到极小，那么满足条件的最优控制问题（1）的解0()uux=就是鲁棒控制问题（2）的解。在本文中，若无特殊说明，向量范数均取2l−范数。2.2变分法求解最优控制在这里我们用无约束最优控制的变分法来求解，即拉格朗日乘子法。用一个向量拉格朗日乘子()tλ，将约束即系统的状态方程加到原来的性能指标中，得到一个新的性能指标泛函求解。Hamilton函数为：()TTTTHxPxxxuuAxBuλ=++++.由0Hu∂=∂得20TuBλ+=，12TuBλ=−.λ∂=−∂得.(22)TxPxAλλ=−++.此时控制项为TuBQx=−。令()2()()tQtxtλ=则有(222)TxPxAQxλ=−++.(4)又由()2()()tQtxtλ=，对t求全导数得：2222()22()TQxQxQxQAxBuQxQAxBBQxλ=+=++=+−.(5)比较(4)(5)式，可得出Riccati方程为：0TTIPAQQAQBBQ+++−=.所以我们只需求解一个代数的Riccati方程0TTIPAQQAQBBQ+++−=(6)其中P是构造的正定矩阵，Q正定。解出Q即可求出控制0TuBQx=−。我们证明了这个最优控制器也是所求的鲁棒控制器：此时只要取Liapunov函数200max0()min[()]nTTuRVxxxuufxdt∞∈=++∫，显然满足()0()00VxVxx≥=⇔=且，我们可以证明()0Vx(沿0xAxBuBf=++解轨线)。由Bellman方程得：2maxmin[()()]0nTTTxuRxxuufxVABu∈++++=(7)0uu=是最优控制问题的解，则有200max0()()0TTTxxxuufxVABu++++=(8)(7)式对u求导，在0u处取值有：020TTxuVB+=(9)由(8)(9)式变形得：2000max()()TTTxVABuxxuufx+=−−−,02TTxVBu=−.我们现在假设0u是鲁棒控制问题的解，对所有的不确定项f，在0x=处有0xABuBf=++。()()dVxVxdt=0()TxVABuBf=++0()TTxxVABuVBf=++200max02TTTxxuufuf=−−−−.(将(2.21)式代入)又因为2220000002||||2||||||||TTTuuufuufuff−−=−−=−++2220max||||||||TVxxufff=−−++−20||||Txxuf≤−−+.(因为假设max||||ff≤)对0x∀≠，都有0V，则liapunov局部稳定性定理的条件满足。因此鲁棒控制问题可以转化为相应的最优控制问题，如果最优控制问题的解0()uux=存在，则它是鲁棒控制问题的解。−=即可求出鲁棒控制。其中000IA⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，110()BMx−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠。假设11121222PPPPP⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，可求得鲁棒控制为：121221111111221112()()()()()(2()())TTuMxMxIPxMxMxIPMxIPx−−=−+−+++2.4小结优点：这种方法将复杂的鲁棒控制问题转化为较简单的最优控制问题，避免了传统方法构造V函数难的问题。这种方法求解控制容易，只需解一个代数的Riccati方程即可求出控制。缺点：本文实际所求控制器较复杂，不易进行数据模拟。所以在第三章，我们引入一种新的方法——算子的非线性测度理论。3．利用非线性测度求解鲁棒控制先引入非线性测度[3][4][5]的相关定义和性质。3.1定义、性质对非线性微分方程系统：0()(()),dxtFxtttdt=≥(10)F是定义在开集Ω上的一个Lipschiz算子。定义3.12l范数下,定义常数2,,2()(),()()sup||||xyxyFxFyxymFxyΩ∈Ω≠−−=−为F在开集Ω上的非线性测度；000002,2()(),()(,)sup||||xxxFxFxxxmFxxxΩ∈Ω≠−−=−为F在0x处的相对非线性测度。引理3.1：若()0mFΩ，则系统(3)最多有一个平衡点，如果平衡点存在，那它是唯一的，且平衡点指数渐近稳定。引理3.2：若*(,)0mFxΓ，Γ是吸引域，*x是系统的一个平衡点，则有(1)*x在Γ内是存在唯一的。(2)指数衰减满足估计式*0(,)()*0*2||()||||||mFxttxtxexxΓ−−≤−，0tt≥。(3)*x是指数渐近稳定的，它的吸引域为Γ。3.2利用非线性测度求解鲁棒控制在机器人系统12121()(())xxxMxufx−=⎧⎨=+⎩中令112()()uMxxx=−+此时系统方程变形为()()xAxFxFx=+=，⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠，10()()()FxMxfx−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠。假定()Fx满足Lipschitz条件。不妨设0x=是系统()xAxFx=+的平衡点，下面利用非线性测度考察0x=的稳定性。如果0x=稳定，则可说明，在此控制112()()uMxxx=−+下系统是稳定的，即求出鲁棒控制。定理3.2对机器人的模型()xAxFx=+.当0x∈Γ,{}113:||()()||||||,0114xMxfxxαα−Γ=≤时，有(1)系统在Γ内有唯一的平衡点0x=。(2)系统的平衡点0x=渐近稳定，而且满足初始条件00()xtx=∈Γ的解()xt的衰减满足03(1)()08220||()||||||,ttxtexttα−−−≤≥.平衡点的吸引域为Γ(其中120IITI⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎝⎠)。证明：由已知0IAII⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠，令()()FxAxFx=+。显然()Fx局部Lipschitz连续，再由120IITI⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎝⎠，1120IITI−⎛⎞−⎜⎟=⎜⎟⎝⎠，可计算出113240IITATI−⎛⎞−⎜⎟=⎜⎟⎝⎠。由于1(,0)0(,0)0mFmTFT−ΩΩ⇔所以下面我们只需考察算子1TFT−在0点的相对非线性测度。由相对非线性测度的定义可得110,(,0)sup,xTFTxmTFTxx−−Ω≠=，欲证1(,0)0mTFT−Ω，只需证1,0TFTx−即可。111,()(),TFTxTATxTFTxx−−−=[phone],(),2200xxIIIIITFTxxxxIIII−⎛⎞⎛⎞−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⋅⋅⋅+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠111221324,(),12IIxxTFTxxxxII−⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎛⎞=⋅+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠−−⎜⎟⎝⎠1121122131,,(),242xxxxxxTFTxx−=−++−−+(),224xxxxxxxxTFTxx−=−−+−+211211||||,(),24xxxTFTxx−=−−[phone]||||||||||||||||||||||||||||24xxxTFTx−≤−+⋅+⋅⋅⋅(1212,||||||||xxxx≤⋅∵,222121211||||||||(||||||||)||||22xxxxx⋅≤+=，1122(),||||||||||||||||TFTxxTFTx−−≤⋅⋅⋅)21223||||||||||||||||||||8xTFTx−≤−+⋅⋅⋅.下面详细计算2||||T，12||||T−并求出值。20||||||||sup||||xTxTx≠=，1122211220xxxIITxxxI⎛⎞⎛⎞+⎛