剪力图和弯矩图

剪力和弯矩•剪力图和弯矩图在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件称为梁。aPAB一、梁的剪力（FS）和弯矩（M）的定义与计算mmx1、用截面法求横截面上的内力FS用截面法假想地在横截面mm处把梁分为两段，先分析梁左段。xxmAmyCaPABmmx00FFySA由平衡方程得可得FS=FAFS称为剪力FA可得M=FAx由平衡方程0mC0xFMAM内力偶M称为弯矩aPABmmxFSxxmAmyCFAMaPABmmxFSxxmAmyCFA梁在弯曲变形时，横截面上的内力有两个，即，结论剪力FS弯矩MFSM其剪力的指向和弯矩的转向则与取右段梁为研究对象所示相反。MFSxxmAmyCFA取右段梁为研究对象。BmmFBPdx+（1）剪力FS的符号2、FS和M的正负号的规定剪力FS使梁的微段发生“左上右下”的错动为正。FSFS或使考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正。dx-剪力FS使梁的微段发生“左下右上”的错动为负。FSFS或使考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为负。+横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为正。（2）弯矩符号（受拉）MM（受压）横截面上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉，下边受压时为负。-（受压）（受拉）①梁的不同截面上的内力是不同的，即剪力和弯矩是随截面的位置而变化。②为了便于形象的看到内力的变化规律，通常是将剪力和弯矩沿梁长的变化情况用图形来表示—剪力图和弯矩图。③剪力图和弯矩图都是函数图形，其横坐标表示梁的截面位置，纵坐标表示相应的剪力和弯矩。④剪力图和弯矩图的画法是：先列出剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，再由函数式画出函数图形。二、列剪力方程和弯矩方程，画剪力图和弯矩图弯矩:正值弯矩画在x轴的下侧；负值弯矩画在x轴上侧。剪力:正值剪力画在x轴上侧，负值剪力画在x轴下侧。剪力图和弯矩图即Fs=Fs(x)M=M（x）**剪力方程和弯矩方程：以梁的左端点为坐标原点，x轴与梁的轴线重合,找出横截面上剪力和弯矩与横截面位置的关系,这种关系称为剪力方程和弯矩方程。绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。xM(x)M图的坐标系oxFs(x)Fs图的坐标系o不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。2qlFFBA解：求得两个支反力例题：图示简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。ABlqFBFA)0(22)()0(2)(2lxqxqlxxMlxqxqlxFS取距左端为x的任意横截面。写出剪力方程和弯矩方程。ABlqFBFAxqxqlxFS2)(剪力图为一倾斜直线。绘出剪力图。x=0处，2qlFSx=l处，2qlFS+ABlqFBFAx2ql2ql_22)(2qxqlxxM弯矩图为一条二次抛物线。0)(8)2(0)0(2lMqllMMABlqFBFAx绘出弯矩图+82ql2()(0)222AxqlxqxMxFxqxxlABlqFBFAx梁跨中截面上的弯矩值为最大82qlMmax但此截面上，FS=02qlFSmax,两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大ABlqFBFAx+82ql2l2ql2ql+lPbFA解：求梁的支反力lPaFB例题:图示的简支梁在C点处受集中荷载P作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。lPABCabFAFB因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程。lPABCabFAFBlPABCabxAC段：FAFB)0()(axlPbxFS)0()(axxlPbxMlPABCabxx()()()()()sBPbPaFxPaxlllPbPaMxFlxxPxalxaxlllCB段：FAFBlPABCabFAx1x2lPbxFS)(1lPaxFS)(2Pb/lPa/l+-FBlPABCabx1x2xlPbxM11)()()(22xllPaxM+Pab/lFAFBlPABCabx1x2+Pab/lPb/lPa/l+-在集中荷载作用处的左、右两侧截面上剪力值（图）有突变。突变值等于集中荷载P。弯矩图形成尖角，该处弯矩值最大。FAFB例题：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图和弯矩图。xl解:将梁在任意x处用横截面截开,取左段为研究对象qxqMFS横截面上有剪力和弯矩,假设均为正值xlqxqMFS根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。xlq剪力图为一斜直线FSx-ql弯矩图为二次抛物线-ql2/2l/2ql2/8xMxlqFSx-ql-ql2/2l/2ql2/8xM横截面上的剪力在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上所有竖向外力（包括斜向外力的竖向分力）的代数和。外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。求剪力和弯矩的简便方法剪力符号：当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针转动趋势时的剪力为正；反之为负。◆横截面上的弯矩在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上的外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和。外力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（下半部受拉，上半部受压）时，横截面上的弯矩为正；反之凹向下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。◆利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的，此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程，只要梁上的外力已知，任一截面上的内力均可根据梁上的外力逐项写出。因此，这种求解内力的方法称为简便法。熟练掌握简便法按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性范围内满足虎克定律。三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。[例]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。qFABFq=+AABB=MxM1x+M2x[例]作下列图示梁的内力图。FLFFLLLLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x–0.5F0.5F0.5F–+–FF0.5FFLL0.5FFLLL0.5F0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLxM10.5FLxMFL[例]绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+M1x=+2Fax2FaM2xMFaqcACDBAFabBFl快速绘制剪力图和弯矩图例题:试作简支梁的剪力图和弯矩图.0.4mABC2KN.m10KN//m0.2m解:求支座反力FAFB)(6);(2KNFKNFBA0.4mABC2KN.m10KN//m0.2mFAFB分段列剪力方程和弯矩方程xAC段:)2.00(2)()2.00(2)(xxxFxMxFxFAAS)(6);(2KNFKNFBA0.4mABC2KN.m10KN//m0.2mFAFBxCB段:)6.02.0(8.15)2.0(102122)()6.02.0(10)2.0(102)(22xxxxxMxxxxFSx)(6);(2KNFKNFBA0.4mABC2KN.m10KN//m0.2mFAFBx)6.02.0(10)(xxxFSx)2.00(2)(xxFS-62剪力图0.4mABC2KN.m10KN//m0.2mFAFBxx)6.02.0(8.15)(2xxxM)2.00(2)(xxxM弯矩图AC段为斜直线,CB段为二次抛物线.CB段取三个截面的弯矩值0)6.0(0.1)4.0(6.1)2.0(MMM+-1.60.40.4m1.00.4mABC2KN.m10KN//m0.2mFAFB+-1.60.4-62mKNMKNFS.6.16maxmax,最大剪力位于B支座稍左横截面上.最大弯矩位于集中力偶作用处稍右横截面上.0.4mABC2KN.m10KN//m0.2mFAFB+-1.60.4-62集中力偶作用处弯矩值发生突变,突变值等于集中力偶之矩.作剪力弯矩图的简便法DABkN3kN/m2mkN6CFAFB外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的内力图。解：1、求支反力kN8.3kN2.7BAFF2、判断各段V、M图形状：DABC3(kN)4.23.8Ex=3.1m(kN·m)3.81.4132.2FAFBCA和DB段：q=0，V图为水平线，M图为斜直线。AD段：q0，V图为向下斜直线，M图为下凸抛物线。解（一）求支座反力由平衡条件得：RA=7KN，R0=9KN。绘图示梁的剪力图和弯矩图。例5图以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处，及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图的几条规律取梁的左端点为坐标原点，x轴向右为正；剪力图向上为正；弯矩图向下为正。梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成一个尖角。梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处剪力图没有变化。梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或FS=0的截面处。