高二数学选修2-3第一章测试题(含答案)[精品文档]

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开封市第十中学高二数学选修2-3第一章测试题一.选择题(每题5分,满分60分)1.四个同学,争夺三项冠军,冠军获得者可能有的种类是()A.4B.24C.43D.34[答案]C[解析]依分步乘法计数原理,冠军获得者可能有的种数是4×4×4=43.故选C.2.210所有正约数的个数共有()A.12个B.14个C.16个D.20个[答案]C[解析]由210=2·3·5·7知正约数的个数为2·2·2·2=16.∴选C.3.设m∈N*,且m<15,则(15-m)(16-m)…(20-m)等于()A.A615-mB.A15-m20-mC.A620-mD.A520-m[答案]C[解析]解法1:(15-m)(16-m)…(20-m)=(20-m)(19-m)……[(20-m)-6+1]=A620-m.解法2:特值法.令m=14得1×2×3×4×5×6=A66.∴选C.4.A、B、C、D、E五人站成一排,如果A必须站在B的左边(A、B可以不相邻),则不同排法有()A.24种B.60种C.90种D.120种[答案]B[解析]5个人全排列有5!=120种、A在B左边和A在B右边的情形一样多,∴不同排法有12×120=60种.5.在(x-3)10的展开式中,x6的系数是()A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410[答案]D[解析]∵Tr+1=Cr10x10-r(-3)r.令10-r=6,解得r=4.∴系数为(-3)4C410=9C410.6.用1、2、3、4、5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为()A.36B.30C.40D.60[答案]A[解析]奇数的个位数字为1、3或5,偶数的个位数字为2、4.故奇数有35A35=36个.7.6人站成一排,甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为()A.A66B.3A33C.A33·A33D.4!·3![答案]D[解析]甲、乙、丙三人站在一起有A33种站法,把3人作为一个元素与其他3人排列有A44种,∴共有A33·A44种.故选D.8.6人站成一排,甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A.720B.144C.576D.684[答案]C[解析]“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件,由间接法可得A66-A33A44=576.[点评]不能都站在一起,与都不相邻应区分.9.C9798+2C9698+C9598等于()A.C9799B.C97100C.C9899D.C98100[答案]B[解析]原式=C9798+C9698+C9698+C9598=C9799+C9699=C97100,故选B.10.已知集合A={1,2,3,4,5,6},B={1,2},若集合M满足BMA,则不同集合M的个数为()A.12B.13C.14D.15[答案]C[解析]∵BM,∴M中必含有1、2且至少含有3、4、5、6中的一个元素,又MA,∴M≠A,∴M的个数为C14+C24+C34=14个.11.某年级有6个班,分别派3名语文教师任教,每个教师教2个班,则不同的任课方法种数为()A.C26·C24·C22B.A26·A24·A22C.C26·C24·C22·C33D.A26·C24·C22A33[答案]A12.1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n的展开式的各项系数之和为()A.2n-1B.2n-1C.2n+1-1D.2n[答案]C[解析]解法一:令x=1得,1+2+22+…+2n=1×(2n+1-1)2-1=2n+1-1.解法二:令n=1,知各项系数和为3,排除A、B、D,选C.二.填空题(每小题5分,满分20分)13.三个人坐在一排八个座位上,若每人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为________.[答案]24[解析]“每人两边都有空位”是说三个人不相邻,且不能坐两头,可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列,只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可.∴有A34=24种不同坐法.14.方程Cx17-Cx16=C2x+216的解集是________.[答案]{5}[解析]因为Cx17=Cx16+Cx-116,所以Cx-116=C2x+216,由组合数公式的性质,得x-1=2x+2或x-1+2x+2=16,得x1=-3(舍去),x2=5.15.方程组x2+y2=3,y2+z2=4,z2+x2=5.有________组解.[答案]8[解析]由方程组x2+y2=3,y2+z2=4,z2+x2=5.可得x2=2,y2=1,z2=3.因此在{2,-2},{1,-1},{3,-3}中各取一个即可构成方程组的一组解,由分步乘法计数原理共有2×2×2=8组解.16.(2010·湖北文,11)在(1-x2)10的展开式中,x4的系数为________.[答案]45[解析]本题主要考查二项式定理.(1-x2)10的展开式中,只有两个括号含x2的项,则x4的系数为C210(-1)2=45三、解答题17.(满分12分)求和:12!+23!+34!+…+n(n+1)!.[解析]∵k(k+1)!=k+1-1(k+1)!=k+1(k+1)!-1(k+1)!=1k!-1(k+1)!,∴原式=11-12!+12!-13!+13!-14!+…+1n!-1(n+1)!=1-1(n+1)!.18.(满分10分)用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.(1)这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个?(2)这些四位数中大于6500的有多少个?[解析](1)偶数的个位数只能是2、4、6有A13种排法,其它位上有A36种排法,由分步乘法计数原理知共有四位偶数A13·A36=360个;能被5整除的数个位必须是5,故有A36=120个.(2)最高位上是7时大于6500,有A36种,最高位上是6时,百位上只能是7或5,故有2×A25种.∴由分类加法计数原理知,这些四位数中大于6500的共有A36+2A25=160个.19.(满分12分)一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目,要求排出一个节目单.(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法?(2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法?(以上两个题只列出算式)[解析](1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法,再将剩余的3个演唱节目,3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法,故共有A25A66种排法.(2)先不考虑排列要求,有A88种排列,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况,可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置,然后将剩余四个节目排列在后四个位置,有A45A44种排法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88-A45A44)种.20.(满分12分)六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站右端,也不站左端;(2)甲、乙站在两端;(3)甲不站左端,乙不站右端.[解析](1)解法一:因甲不站左右两端,故第一步先从甲以外的5个人中任选二人站在左右两端,有A25种不同的站法;第二步再让剩下的4个人站在中间的四个位置上,有A44种不同的站法,由分步乘法计数原理共有A25·A44=480种不同的站法.解法二:因甲不站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上,有A14种不同的站法;第二步再让余下的5个人站在其他5个位置上,有A55种不同的站法,故共有A14·A55=480种不同的站法.解法三:我们对6个人,不考虑甲站位的要求,做全排列,有A66种不同的站法;但其中包含甲在左端或右端的情况,因此减去甲站左端或右端的排列数2A55,于是共有A66-2A55=480种不同的站法.(2)解法一:首先考虑特殊元素,让甲、乙先站两端,有A22种不同的站法;再让其他4个人在中间4个位置做全排列,有A44种不同的站法,根据分步乘法计数原理,共有A22·A44=48种不同的站法.解法二:“位置分析法”,首先考虑两端2个位置,由甲、乙去站,有A22种站法,再考虑中间4个位置,由剩下的4个人去站,有A44种站法,根据分步乘法计数原理,共有A22·A44=48种不同的站法.(3)解法一:“间接法”,甲在左端的站法有A55种,乙在右端的站法有A55种,而甲在左端且乙在右端的站法有A44种,故共有A66-2A55+A44=504种不同的站法.解法二:“直接法”,以元素甲的位置进行考虑,可分两类:a.甲站右端有A55种不同的站法;b.甲在中间4个位置之一,而乙不在右端,可先排甲后排乙,再排其余4个,有A14·A14·A44种不同的站法,故共有A55+A14·A14·A44=504种不同的站法.21.(满分12分)有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法?(1)甲得4本,乙得3本,丙得2本;(2)一人得4本,一人得3本,一人得2本;(3)甲、乙、丙各得3本.[分析]由题目可获取以下主要信息:①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学;②题目中的3个问题的条件不同.解答本题先判断是否与顺序有关,然后利用相关的知识去解答.[解析](1)分三步完成:第一步:从9本不同的书中,任取4本分给甲,有C49种方法;第二步:从余下的5本书中,任取3本给乙,有C35种方法;第三步:把剩下的书给丙有C22种方法,∴共有不同的分法有C49·C35·C22=1260(种).(2)分两步完成:第一步:将4本、3本、2本分成三组有C49·C35·C22种方法;第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有A33种方法,∴共有C49·C35·C22·A33=7560(种).(3)用与(1)相同的方法求解,得C39·C36·C33=1680(种).22.(满分12分)已知在(3x-123x)n的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.[解析](1)Tr+1=Crn·(3x)n-r·(-123x)r=Crn·(x13)n-r·(-12·x-13)r=(-12)r·Crn·xn-2r3.∵第6项为常数项,∴r=5时有n-2r3=0,∴n=10.(2)令n-2r3=2,得r=12(n-6)=2,∴所求的系数为C210(-12)2=454.(3)根据通项公式,由题意得:10-2r3∈Z0≤r≤10r∈Z令10-2r3=k(k∈Z),则10-2r=3k,即r=10-3k2=5-32k.∵r∈Z,∴k应为偶数,∴k可取2,0,-2,∴r=2,5,8,∴第3项、第6项与第9项为有理项.它们分别为C210·(-12)2·x2,C510(-12)5,C810·(-12)8·x-2.

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