3-误差传播律

偶然误差服从正态分布；精度；精度指标：方差（中误差）；单个观测值:方差、协方差观测值向量：方差-协方差阵、互协方差阵设有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2，今已知：求：X1的方差DX1,X2中误差DX2,X1X2的协方差DX1X2,Y1的方差DY123007cmDX观测值函数的中误差函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数nxxxz21nnxkxkxkz2211kxzxzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkmX---独立观测值向量设有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2，今已知：求：X1的方差DX1,X2中误差DX2,X1X2的协方差DX1X2,Y1的方差DY123227cmDXTYYYYEYEYED))((第三章协方差传播律及权§3.1协方差的传播一、数学期望的特性处理带有偶然误差的观测值时，常用数学期望表示其真值。数学期望的定义：性质：如果随机变量两两相互独立，xdxxfXE)()(CCE)()()(XCECXE)()()(YEXEYXE)()()()(2121nnXEXEXEXXXE§3.1协方差的传播二、方差的特性方差的定义：性质：)D(D(L),L~LYX,),()()()]([)()()()(0)(222彼此独立YDXDYXDXEXEXDXDCCXDCD)))((()(22XEXEXD设有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2，今已知：求：X1的方差DX1,X2中误差DX2,X1X2的协方差DX1X2,Y1的方差DY123227cmDX26232391cmDYY二、观测值线性函数的方差设有向量：02211202222121210121211111,t01,,t1,t1,t1,nn,n211,ZX,,],...,[tntntttnnnnnnXXTnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZKXKZDXXXX：的线性函数今有协方差阵：及其方差1,01,,1,tnnttKXKZ证明：设：XnTnnEEEEXEXXXX,...,)(,],...,[21211,TXXXXEXEXED))((TZZZZEZEZED))((那么：TXXTTXXTTXXTXXTZZZZKKDKEXEXKEKEXEXKEKEKXKEKXEEZEZED))(())(())(())((二、观测值线性函数的方差tnTKnnXXDntKttZZD,,,,那么：------协方差传播律误差传播律：在间接观测中，观测值必须由一个或一系列的其他直接观测值通过一定的函数关系间接计算出来，阐述观测值函数的中误差和观测值中误差的关系的公式成为误差传播律。例1、设有：Y1=4X1-3X2-50,Y2=-X1+X2，今已知：求：Y1的方差DY1，Y2的方差DY2，Y1关于Y2的协方差DY1Y2F=Y1+Y2的方差DFF51cm223227cmDX26232391cmDYY例2、设三角形中，同精度独立观测得到三个内角L1，L2，L3，其中误差为σ。求：将三角形闭合差平均分配后的各角的协方差阵。321ˆˆˆLLL、、二、观测值线性函数的协方差设有向量：1,r01,,r1,r1,r1,t01,,t1,t1,t1,nn,n211,YZX,,],...,[FXFYKXKZDXXXXnnnnXXTnn：：的线性函数今有协方差阵：及其方差证明：设：XnTnnEEEEXEXXXX,...,)(,],...,[21211,TXXXXEXEXED))((TYZZYEYEZED))((那么：TXXTTXXTTXXTXXTYZZYFKDFEXEXKEFEXEXKEFEFXKEKXEEYEZED))(())(())(())((二、观测值线性函数的方差rnTnnXXntrtZYFDKD,,,,那么：------协方差传播律二、观测值线性函数的方差tnTKnnXXDntKttZZD,,,,rnTnnXXntrtZYFDKD,,,,协方差传播律1,r01,,r1,r1,t01,,t1,tFXFYKXKZnnnn二、协方差传播律1nX1mYXXDYYDXYD例3设随机向量，其自协方差阵分别是、，互协方差阵是。今有函数12111mmtnnttYFXFZ求：解：ZZDZXDZYD二、协方差传播律1nX1mYXXDYYDXYD例3设随机向量，其自协方差阵分别是、，互协方差阵是。今有函数12111mmtnnttYFXFZ求：解：ZZDZXDZYDIDDDDFFDIDDDDFFDYXFFZYXIXYXFFIZYYXFFIZXFFDDDDFFDYYYXXYXXZYYYYXXYXXZXTTYYYXXYXXZZ0][0][][00,0][21212121212121二、协方差传播律[例4]如图，观测角的中误差协方差.若无误差，求角的中误差。21,221秒1BAC3秒4.121ABC32121213]11[-21213]11[-KTKKDm3例5、如图，已知直线两端点数字化坐标的平差值为：A(x1,y1),B(x2,y2),其协方差阵为：边长S1及S无误差。试求：AB直线上，AP=S1处的P点坐标（x,y）及其协方差阵。222222221212222122121111212111yyxyyyxyxxxyxxyyxyyyxyxxxyxxD例5、如图，已知直线两端点数字化坐标的平差值为：A(x1,y1),B(x2,y2),其协方差阵为：边长S1及S无误差。试求：AB直线上，AP=S1处的P点坐标（x,y）及其协方差阵。222222221212222122121111212111yyxyyyxyxxxyxxyyxyyyxyxxxyxxD211211211211111111)1()()1()(yyyyyyyyxxxxxxxxSSSSSSAPSSSSSSAP三、观测值非线性函数的方差例1、已知随机向量的自协方差阵是:求函数向量的方差阵。210130004LLD13L3221LLLZ设有观测值向量X的非线性函数：),,()(21nXXXfXfZ已知：XXTnnDXXXX,],...,[211,ZZD求：将Z=f(X)按Tailor级数在X0处展开：二次以上项）()()()()()()(),,(00022020110100021nnnnXXXfXXXfXXXfXXXfZ非线性函数的线性化：TnnXXXX],...,[0001,021XXTnnDXXXX,],...,[211,),,()(21nXXXfXfZ]),[),,(0020121nnXfXfXfkkkK（）（）（niiniXXfXXXfk1000000)(),,(21001,],,[21kKXkXkkkZnnTXXZZKKDD协方差传播律：三、观测值非线性函数的方差例1、已知随机向量的自协方差阵是:求函数向量的方差阵。210130004LLD13L3221LLLZ例2、已知函数：L的中误差是σ。求x、y、z的方差和协方差。102Lx2Lxy142Lyxz协方差传播应用步骤:根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式写出观测量的协方差阵对函数进行线性化协方差传播律应用3.2协方差传播定律在测量中的应用例1、由三角形闭合差计算测角中误差（菲列罗公式）设在三角网中独立等精度观测了各三角形之内角，中误差皆为σ。设各三角形的闭合差为W1、W2···Wn。设闭合差的中误差σW。求:测角中误差σ。解：因为闭合差是真误差，故由中误差定义可得闭合差的中误差是nWWnlimlim222212应用误差传播定律有：223W测角中误差是nWWn其估值公式：nWW3ˆ2nWW3ˆ测量中：由三角形闭合差计算测角中误差的菲列罗公式。三、协方差传播率的应用2、算术平均值是最可靠的估值在相同的观测条件下，对一个量进行多次观测，则所有观测值的算术均值为该量的最佳估值。证明LLLnnnnnnnnLnLnLiLi~~]L[limlimlimlimlim0][根据偶然误]~[][][~差性质说明，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。例2、独立等精度观测一个量，其算术平均值的中误差设一个量的n个独立等精度的观测值是L1、L2···Ln，中误差均为σ；其算术平均值是则算术平均值的精度为：算术平均值的中误差为观测值的中误差的倍)(1ˆ21nLLLnLnnnL1122ˆn1三、协方差传播率的应用结论n增大，即观测次数增大，则均值的精度提高。但，观测次数增加到一定的次数后（如10次），精度提高很慢。结论：要提高均值的精度，不能简单的从无限制的增加观测次数达到目的。而是要采用适当的观测方法、适当的仪器和适当的观测次数等几个方面入手。例3、水准测量的精度A、B两点间进行水准测量，共设N站次.A、B两点间高差等于各站测量得到的高差之和:求A、B点间高差的中误差。a1b1a2b2abaNbN1（s)2(s)…N(s)ABTP1TP2TPN-1nABhhhHHh21三、协方差传播率的应用3、水准测量的精度设水准测量中每一测站观测高差hi的精度相同,其方差均为,则具有N个测站的水准路线的总高差为Nhhhh...21应用协方差传播公式可得2222221站Nnhhhh站Nh在平坦地区的水准测量中,每公里的测站数大致相等,因此,每公里观测高差的方差相等,设其均为,则S公里观测高差的方差和中误差分别为2km22kmhSkmSh2站水准测量高差的中误差与水准距离、测站数的平方根成正比结论例4、限差的确定1、已知二等三角测量中的观测角中误差是，则三角形闭合差的限差：2、已知用T2经纬仪观测每一个方向的中误差是。两次照准零方向的观测值是L1和L2。归零差,其中误差是：归零差d的限差是:15.3)1(32322WW限2.121LLd7.1)2.1(22d4.32d限223W三、协方差传播率的应用5、等精度观测数据的精度计算第一公式第二公式（白塞尔公式）条件：观测值真已知条件：观测值真值未知，算术平均值L已知n1nVV其中—观测值改正数，iViiLLV三、协方差传播率的应用证明：1nVVnLLVLL~两式相加，有LLV~