椭圆复习专讲

椭圆复习专讲1.设P是椭圆上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于()(A)4(B)5(C)8(D)1022xy125162.椭圆的焦距等于2，则m的值为()(A)5或3(B)8(C)5(D)1622xy1m4【解析】选D.由题意知a=5,∴|PF1|+|PF2|=2a=10.【解析】选A.当m＞4时，m-4=1,m=5,当0m＜4时，4-m=1,m=3.3.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为则椭圆方程为()13，22222222xyxyA1B11441283620xyxyC1D132363632【解析】选D.设标准方程为：(a＞b＞0)，由已知得2a=12,∴a=6,又∴c=2,∴b2=a2-c2=32，∴方程为2222xy1abc1ea3，22xy1.3632椭圆的定义、标准方程【例1】(2019•日照模拟)已知F1、F2是椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积为9，则b=_______.【审题指导】关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|+|PF2|=2a,再利用PF1⊥PF2进而得解.12222xy1ab【自主解答】设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则∴2r1r2=(r1+r2)2-(r12+r22)=4a2-4c2=4b2,答案：31222212rr2a,rr4c,122PFF121Srrb9,b3.2【规律方法】1.焦点三角形：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等.2.求椭圆的标准方程主要用待定系数法，用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能.(2)设方程：根据上述判断设方程(a＞b＞0)或(a＞b＞0).(3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组.(4)得椭圆方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.2222xy1ab2222xy1ba提醒：当椭圆焦点位置不明确而无法确定时，可设为(m＞0,n＞0,m≠n)，也可设为Ax2+By2=1(A＞0,B＞0且A≠B).22xy1mn椭圆几何性质的确定与应用【例2】(2019·福建高考)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP∙FP的最大值为()(A)2(B)3(C)6(D)8【审题指导】关键是将OP∙FP用点P的坐标表示，再利用点P在椭圆上，转化成一个变量的函数求最大值，但要注意点P的坐标的取值范围.222xy14322xy143【自主解答】选C.由椭圆可得点F(-1，0)，点O(0，0)，设P(x,y)(-2≤x≤2),则OP∙FP=当且仅当x=2时，OP∙FP取得最大值6.22223(1)4xxxyxx2213(2)244xxx【规律方法】1.椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆有-a≤x≤a,-b≤y≤b,0e1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系.2.求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2222xy1ab【例】已知椭圆：(ab0)的两个焦点分别为F1、F2，斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A、B，与y轴的交点为C，若B为线段CF1的中点，且|k|≤求椭圆离心率e的取值范围.2222xy1ab14,2【审题指导】关键是找到k与a、b、c的关系，进而利用b2=a2-c2,得到k与e的关系，从而利用k的范围，构建e的不等式求解.【规范解答】设F1(-c，0)，则直线l的方程为y=k(x+c).令x=0得y=kc，∴点C的坐标为(0，kc)，从而点B的坐标为().∵点B在椭圆上，cea，ckc22，2222222222222222222ckc14a4bckcke1e4.4a1e4ac4e1ek.e，即，即222424e1e147k,2e22e17e80又，即，解得≤e2≤8.又0e21,∴≤e21，∴≤e1.121222【规律方法】求解椭圆离心率问题，关键根据题目的条件得到一个关于a、b、c的等式(不等式).再利用a2=b2+c2,得到关于a、c的等式(不等式)，然后利用得到关于e的等式(不等式)，求出e的值(范围).提醒：椭圆离心率e与a、b的关系：ce,a222222222cabbbe11e.aaaa直线与椭圆的位置关系【例3】(2019·辽宁高考)设F1、F2分别为椭圆C：的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为(1)求椭圆C的焦距；(2)如果AF2=2F2B求椭圆C的方程.2222xy1(ab0)ab＞＞23.【审题指导】第(1)题，抓住F1到l的距离为，从而求解.第(2)题，抓住AF2=2F2B，构建关于a、b的方程，从而求解.23【自主解答】(1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c=,故c=2.所以椭圆C的焦距为4.233【规律方法】1.直线与椭圆位置关系的判定方法：把椭圆方程(ab0)与直线方程y=kx+b联立消去y，整理成形如Ax2+Bx+C=0(A≠0)的形式.则:2222xy1ab2.直线被椭圆截得的弦长公式，设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则22122212122122212122AB1kxx1kxx4xx1(1)yyk11yy4yyk.k为直线斜率提醒：解决直线与椭圆的位置关系问题时，常利用数形结合、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法.1.(2019·西安模拟)椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()11ABC2D442221a,b1,m1m,411a,b1,2,mm22yx1,1m【解析】选A.将原方程变形为由题意知故选A.2.(2019·厦门模拟)若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是()【解题提示】关键是由题意找到a与c间的大小关系.【解析】选D.设P到两个焦点的距离分别为2k,k,根据椭圆定义可知：3k=2a,又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c,即k≤2c,∴2a≤6c,即又0e1,故111111A(,)B(,)C(,1)D(,1)4332331e.31e1.32222xy1ab3.(2019·南通模拟)设椭圆(ab0)的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()221ABC22D21222b2c,a222ac2c,aa21.2b(c,)a，【解析】选D.不妨设点P在x轴上方，坐标为∵△F1PF2为等腰直角三角形，∴|PF2|=|F1F2|,即即∴1-e2=2e，故椭圆的离心率是4.(2019·温州模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为(-4，0)和(4，0)，且经过点(5，0)，则该椭圆的方程为______.【解析】由题意知椭圆的焦点在x轴上，且c=4,a=5,∴b2=a2-c2=9.则椭圆的标准方程为22xy1.2595.(2019·新课标全国卷)设F1,F2分别是椭圆E：=1(0b1)的左，右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值.222yxb43【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=.21b.(2)l的方程为y=x+c,其中c=设A(x1,y1),B(x2,y2),则A，B两点坐标满足方程组化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.则x1+x2=x1x2=因为直线AB的斜率为1，所以|AB|=|x2-x1|,即=|x2-x1|.则解得b=222yxc,yx1b22c,1b2212b.1b2243224212122222284(1b)4(12b)8b(xx)4xx,9(1b)1b(1b)2.2