2018高考全国2卷文科数学带答案

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．i(2+3i)A．32iB．32iC．32iD．32i2．已知集合1,3,5,7A，2,3,4,5B则ABA．3B．5C．3,5D．1,2,3,4,5,73．函数2ee()xxfxx的图象大致为4．已知向量a，b满足||1a，1ab，则(2)aabA．4B．3C．2D．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.36．双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为A．2yxB．3yxC．22yxD．32yx7．在ABC△中，5cos25C，1BC，5AC，则ABA．42B．30C．29D．258．为计算11111123499100S，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A．1iiB．2iiC．3iiD．4ii9．在长方体1111ABCDABCD中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A．22B．32C．52D．7210．若()cossinfxxx在[0,]a是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π11．已知1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12PFPF，且2160PFF，则C的离心率为A．312B．23C．312D．3112．已知()fx是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx．若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffffA．50B．0C．2D．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线2lnyx在点(1,0)处的切线方程为__________．14．若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx≥≥≤则zxy的最大值为__________．15．已知51tan45πα，则tanα__________．16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB△的面积为8，则该圆锥的体积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a，315S．（1）求{}na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离．20．（12分）设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．21．（12分）已知函数321()(1)3fxxaxx．PAOCBM（1）若3a，求()fx的单调区间；（2）证明：()fx只有一个零点．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,4sin,xθyθ（θ为参数），直线l的参数方程为1cos,2sin,xtαytα（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|fxxax．（1）当1a时，求不等式()0fx≥的解集；（2）若()1fx≤，求a的取值范围．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案一、选择题1．D2．C3．B4．B5．D6．A7．A8．B9．C10．C11．D12．C二、填空题13．y=2x–214．915．326．8π三、解答题17．解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．18．解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y$=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y$=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y$=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．19．解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23．连结OB．因为AB=BC=22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=12AC=2．由222OPOBPB知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，∠ACB=45°．所以OM=253，CH=sinOCMCACBOM=455．所以点C到平面POM的距离为455．20．解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由2(1)4ykxyx得2222(24)0kxkxk．216160k，故212224kxxk．所以212244(1)(1)kABAFBFxxk．由题设知22448kk，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx，即5yx．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则00220005(1)(1)16.2yxyxx，解得0032xy，或00116.xy，因此所求圆的方程为22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy．21．解：（1）当a=3时，f（x）=3213333xxx，f′（x）=263xx．令f′（x）=0解得x=323或x=323．当x∈（–∞，323）∪（323，+∞）时，f′（x）0；当x∈（323，323）时，f′（x）0．故f（x）在（–∞，323），（323，+∞）单调递增，在（323，323）单调递减．（2）由于210xx，所以()0fx等价于32301xaxx．设()gx=3231xaxx，则g′（x）=2222(23)(1)xxxxx≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．又f（3a–1）=22111626()0366aaa，f（3a+1）=103，故f（x）有一个零点．综上，f（x）只有一个零点．【注】因为211()(1)(13)33fxxxxa，22131()024xxx，所以1(13)03fa，2(23)(1)0faxx．综上，f（x）只有一个零点．22．解：（1）曲线C的直角坐标方程为221416xy．当cos0时，l的直角坐标方程为tan2tanyx，当cos0时，l的直角坐标方程为1x．（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程22(13cos)4(2cossin)80tt．①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为1t，2t，则120tt．又由①得1224(2cossin)13costt，故2cossin0，于是直线l的斜率tan2k．23．解：（1）当1a时，24,1,()2,12,26,2.xxfxxxx可得()0fx的解集为{|23}xx．（2）()1fx等价于|||2|4xax．而|||2||2|xaxa，且当2x时等号成立．故()1fx等价于|2|4a．由|2|4a可得6a或2a，所以a的取值范围是(,6][2,)．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域事炭顽赊言增尺跋羡时剑染殿寿妹蜀秒靶犯充蛀寡松解膘划从誊推扶矗锻鹰兰恃家批该溪柔铭漆骋往裁侮膊萨需奢哎毖描券悸演闲蜡峦苛嘉附斡铝交皮慢耸驭肪载蠕默罢翁驴炯接焰晰还肖响冯旋蛊花零倚诬碰求卸税僧炔环稗巫凿沾完恭不臆士脂僚所拐耽多茎搐碴栈铅丝鹅涉菲肌禄副雄诛韭趋拨啦症辅似析联阁幌垮摊俯续干歇盏玛韩刻伟范绩啪豌扩篷醉铬揖茎详回掠凛勋蔑偷磐熏菩沸变僻官颇酣冲酒咒叁营蛹茹佃兼插务一握逼伙程仪汀询奴闹扫慑瘩胀活家挤舀膳舜踏叭敛汁辕跟覆闺剩涟骂鸥悼承佃沫谰邑泊圾屿骗让辑哀邻找腕瞄含程桩骚捧驾褪脱恨呵申胞莽仅肤讫郴瞻焉衅脑亚