数学模型建模方法论一

第一章绪论1.1数学与数学的应用1.2数学建模1.3创造性思维方法1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类1.6数学建模示例1.1数学与数学的应用近半个世纪以来，数学的形象发生了很大的变化，数学不在仅仅是数学家和少数物理学家、天文学家、力学家等少数人手中的神秘武器，它渐渐为越来越多的人们所了解和关注。21世纪以高科技为核心的的知识经济占主导地位，社会的信息化、数字化、及计算机的应用也就日益广泛。信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争——钱学森在经济竞争中数学科学是必不可少的，数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术——钱学森现代数学在理论上更抽象，在方法上更综合，在应用上更广泛，新的数学分支层出不穷，相互交叉，相互渗透。学习数学很重要的一个方面在于数学知识和数学方法的应用，数学可以为组织和构造知识提供方法，用于技术时就能使科学家和工程师们生产出系统的、能复制的、可以传播的知识。1.2数学建模是指所研究客观事物有关属性的模拟，它具有事物中我们感兴趣的主要性质。模型数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模数学建模的重要意义•数学建模的创新作用•数学建模的综合作用数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。•数学模型的桥梁地位数学模型(E.A.Bendar定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。重要的科学思维方式之一是创新思维，创新思维是创新能力的核心与灵魂。1.3创造性思维方法现实世界数学世界建立数学模型推理演绎求解翻译为实际解答实际解答：如对现实对象的分析、预报、决策、控制等结果。始于现实世界并终于现实世界数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，*数学建模没有普遍适用的方法与技巧.*有一些普遍适用的思想方法与思维方式.整个数学建模过程由若干个有明显差别的阶段性工作组成怎样构架这座桥梁？求解数学模型实际问题分析建立数学模型提交论文与报告模型与模型解的分析及检验数学建模的各阶段工作此流程具有指导意义，应注意*流程应用是弹性的，切不能生搬硬套.本章基本上按照此流程来介绍数学建模的方法。*建模过程往往是一个反复循环的过程.数学建模过程是一种创新过程，在思考方法和思维方式上与学习其他课程有很大差别。数学创新思维…….等等.类比思维归纳思维逆向思维发散思维猜测思维掌握几类方法：问题解决法、思想表达法、创造发明法.方法的共同特点：不轻易否定别人的意见，怀疑一般常识，努力发现别人尚未察觉的事物等以下介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法对于创造能力的培养不可或缺一、打开思路的方法面对新问题，应尽量打开自己的思路：发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分1.不要轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论.2.尽量多一些想法，多一些猜测。思考、思考、再思考.帮助展开思路的方法：关键词联想法提问题法1.提问题法面临难题,束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案.如：(l)这个问题和什么问题相类似？(2)假如变动问题的某些条件将会怎样？借助于一系列问题来展开思路.(4)重新组合又会怎样？(3)将问题分解成若干部分再考虑会怎样？为进一步打开思路可提以下问题：(5)我们还可以做什么工作？(6)有无需要进一步完善的内容？(7)可否换一种数学工具来解决此问题？针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开。例1穿越公路问题一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲”过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”,让行人可穿越公路,并且还要保证行人的平均等待时间不超过15秒.增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？1.考虑问题的立场,司机或行人的哪方面的利益更为重要？2.公路情况:是否有弯道？车道间是否设有安全隔离带？……3.车流情况：车流的密度大小？4.行人情况:穿越公路的速度大小？穿越公路的人群密度？穿越公路者的性质？一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等.他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数,厂家用于组织生产，商家便于安排进货.例2电饭煲销售问题怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产.想一想此问题与我们遇到的哪一个建模问题相类似？分析Logistic人口模型，t时刻的人口数为,rt0NKrt0rt01)e(1K1)(eNKKeNN(t)t≥0改写为0)(,1ttNKStceK10NKc,KrS其中)NNrN(1(t)N0数学分析0)(tNt1.若r＜0，则S＜0，随着,则2.若r＞0，讨论Logistic曲线特征,0)()1(tNN(t)是单调上升函数.KCeKtNtKStt1lim)(lim)2(K是使得人口净增长率r(K)=0的人口数，可理解为该地区能容纳的人口上限.0)1()1()()3(23KStKStKStCeCeeSCKtN令,2)(0)(000KtxtNt且，使存在单调上升；即当)(,0)(,0tNtNtt单调下降。即当)(,0)(,0tNtNttt00N0kk/2人口不会无限增长，存在一个转折时间点t0，过此点以后增长速度会减缓。(1)一般每户只需用1～2只电饭煲就足够,一个地区的需求量是有限的；电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可利用类比方法建立模型.Logistic模型特点：初期高速增长，过一个特定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.对原问题的分析：(2)初期在广告之类推销作用下销售速度较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓.记x(t)为t时刻已售出的电饭煲总数,市场的饱和量(最大需求量)为M,利用Logistic模型0,1)(tcetXkMtM来描述电饭煲的销售速度变化情况.实际情况与Logistic销售曲线十分吻合思考请考虑现实中哪些变量的变化可用Logistic模型进行描述？现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人员伤亡和财产损失.大楼内居住人员的安全保障在于无论发生什么情况,都能使人员有组织,有秩序地进行疏散撤离.例3“9.11”事件的反思一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散人员的演习.问题分析演习之前需要考虑许多方面,如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个较庞大的系统工程应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如*一个房间内人员的撤离；*一个通道的撤离；*一层楼人员的撤离；……最后，将各个子问题重新组合起来.2.关键词联想法主要步骤如下：(1)抓住问题或方案的关键词,不受任何约束地进行联想；(2)把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上,进一步激发产生新的想法,进一步想出新的主意；(3)再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题的初步思路与步骤.一种有效的发散思维方式.在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应例4飞行管理问题……请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度).要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.记录数据为：……试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下：*对问题仔细阅读,首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想.*抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、“立即”、“判断”等等词语.*联系解决问题的方案,不加约束继续联想，再将关键词搭配起来.立即判断条件碰撞实时算法避免碰撞调整方向角实时幅度尽量小相对距离优化问题优化算法优化调整方案问题的初步理解和想法:飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性.思考题：尝试读题与分析MCM1999A题：强烈的碰撞美国国家航空和航天局(NASA)从过去某个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击地球会产生的后果。作为这种努力的组成部分，要求你们队来考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比撞到地球的其他地方可能会有很不同的后果。假如小行星的直径大约为1000米，还假设它正好在南极与南极洲大陆相撞。要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区的估计，对南半球海洋的食物生产区域造成的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的估计。强烈的碰撞读题分析撞击爆炸？后果冲击波地震、海啸、飓风热能释放冰融海岸线上升洪水放射物粉尘放射减少日照、大气层变化人员伤亡所在地区沿海海啸、地震、洪水、放射物食物生产区的破坏冰融对地球运行轨迹的影响相关因素：小行星形状、成分与密度撞击角度、速度、位置（运行轨迹）太阳、地球、月亮——轨道能量来源引力、动能南极冰盖的成分（深度、密度、温度）冰融的估算以及冰盖下的成分大气环流粉尘的传送温室效应相关理论：Newton引力模型轨迹碰撞的动力学冰的热力学（冰融、汽化）、热传导生态系统（磷虾.krill）水温后期工作：预测与预警二、整体把握问题的方法有两种把握住问题的全貌的有效方法：(1)层次结构法(2)问题分解法问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法.将问题分解为“三要素”的三个部分.问题分解三要素初态目标态过程觉察到的现在状态(目前“有什么”，如条件、数据等).觉察到的希望目标(想要什么、希望达到什么等).能在“初态”和“目标态”之间发生作用的行动(能做什么).例5常见数学题目模式已知求（证）解题初态目标态过程教师的主要教学目标*解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很困难.*未清晰地描述出问题的“初态”和“目标态”之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不清、目标不明.尽量拓展思路的基础上,再进行充分分析得到的问题分解结果：例6．飞行管理问题初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞条件过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方案及相应算法.目标态：实时调整，避免碰撞。数学建模的基本方法•机理分析•测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。•二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.4数学建模的方法和步骤数学建模的一般步骤实际问题分析建立数学模型求解数学模型模型及模型解的分析与检验提交论文或报告一、问题分析问题的前期分析包括：明确问题、分析条件、分析数据等。为什么问题前期分析至关重要？数学建模问题往往含混不清,可能的原因有:*提出问题的人未能清楚地表述问题.*不同领域的人交流出现故障.*各领域的应用者提出问题时,未给出恰当的条件.对问题进行充分的前期分析以前,过早着手决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱,或者偏离解决问题的方向.一.明确问题例3.3.1一家大商业印刷公司的经理就关于应该雇多少推销员的问题征询你的意见.“究竟需要做什么？”遇到一个新问题时,首先应问自己*未能准确理解问题.着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行分析。原问题“推销员人数问题”明确为：(1)不同规模的销售队伍会有什么影响；(2)怎样从他们的销售工作中获