搜索
1第一章二次根式1.二次根式的定义：表示算术平方根的代数式叫做二次根式，形如a(a≥0).2.★★★二次根式有意义的条件：被开方数≥0；分式有意义的条件：分母≠0.例：2－x有意义的条件是2－x≥0，即x≤2；11－x有意义的条件是1－x≠0，即x≠1；2－x1－x有意义的条件是2－x≥0且1－x≠0，即x≤2且x≠1.练习：使代数式1433xx有意义的x的范围是______________________．3.★★求含字母的二次根式的值.例：当x＝－4时，求二次根式8－2x的值.错误解法：（1）8－2x＝8－2×4＝0；（2）1－2x＝8－2×(－4)＝16＝±4.正确解法：8－2x＝8－2×(－4)＝16＝4.注意：代入负数时一定要注意符号！4.★★★二次根式的性质：(1)(a)2＝a(a≥0)；(2)a2＝|a|＝a(a≥0)－a(a≤0)；(3)ab＝a×b(a≥0，b≥0)；(4)ab＝ab(a≥0，b＞0).注意：性质(2)中，当平方在根号里时，开方后要加上绝对值，再根据去绝对值法则去绝对值.若无法判定绝对值里的数的符号时，应分类讨论.例：(2－2)2＝|2－2|＝2－2（因为2－2是负数，所以去掉绝对值后等于它的相反数.）练习：（1）(﹣2)2＝__________；(﹣2)2＝__________．（2）(3.14－π)2＝_______________．5.★★最简二次根式必须满足两个条件：（1）根号内不含分母；（2）根号内不含开得尽方的因数或因式.例：下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．7B．12C．20D．0.01解析：B和D的根号内是分数，不是最简二次根式，12＝1×22×2＝22，0.01＝1100＝110；C的被开方数20含有开得尽方的因数4，也不是最简二次根式，20＝4×5＝25.故选A.2练习：下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．13B．3C．27D．0.256.★★★二次根式的运算（考试必考，解答题21题）完全平方公式和平方差公式.(a±b)2＝a2±2ab＋b2；(a＋b)(a－b)＝a2－b2.练习：（1）2×8（2）(3－1)2＋2(3－1)（3）32－8（4）(5＋3)2－(5－3)27.分母有理化：例：15－2＝1×(5＋2)(5－2)×(5＋2)＝5＋2.技巧：利用分数的性质，分子分母同乘以一个式子，使分母可以用平方差公式计算.8.利用题目中的隐含条件——二次根式被开方数≥0解题.例1：已知y＝2x－1＋1－2x＋3，则xy＝_______.分析：根据二次根式被开方数≥0得，2x－1≥0且1－2x≥0，即x≥12且x≤12，所以x＝12．例2：化简(3－2x)2－(2x－5)2原式＝|3－2x|－(2x－5)，要去掉|3－2x|的绝对值，必须知道3－2x的符号，由于隐含条件2x－5≥0，即x≥52，所以3－2x≤0，所以原式＝2x－3－2x＋5＝2.练习：已知20172018xxx，则22017x＝______________．9.32的整数部分是_________，小数部分是__________.分析：先把32的3从根号外移到根号内，即32＝9×2＝18，因为16＜18＜25，即4＜18＜5，所以18是一个4点多的数，故32的整数部分是4；小数部分＝32－整数部分＝32－4.练习：27的整数部分是_________，小数部分是__________.第二章一元二次方程1.★★★一元二次方程满足的三个条件：（1）方程两边都是整式（即字母不在根号里，字母不在分母上）；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2次.注意：判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理（去括号、合并同类项），然后再看是否满足上面这三个条件.练习：下列方程属于一元二次方程的是（）（A）x2－2x－1＝0（B）3x2＋2x＝0（C）3(x－1)＋2x＝0（D）x2－6y－3＝032.一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.练习：一元二次方程(x＋2)(x－2)＝5x化成一般形式是______________________．3.★★★解一元二次方程（1）因式分解法：①提公因式；②平方差公式；③完全平方公式；④用十字相乘法.（2）直接开平方法；（3）★★★配方法；当二次项系数为1时才可以进行配方，配上的常数是一次项系数一半的平方.例：用配方法解方程x2－6x＋1＝0，则方程可配方为____________________.练习：用配方法解方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的是（）A．(x－3)2＝19B．(x－3)2＝10C．(x－6)2＝19D．(x－3)2＝1（4）公式法:x＝－b±b2－4ac2a.例：（1）2(x－7)2＝14（适合用直接开平方法）（2）x(x－2)＋x－2＝0（适合用因式分解法）（3）x2＝4x（适合用直接开平方法）（4）x2－2x－2＝0（适合用因式分解法）4.★★★根的判别式：△＝b2－4ac当b2－4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0，方程没有实数根.例：若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________.分析：因为方程有两个不相等的实数根，所以△＝b2－4ac＞0，即(－2)2－4(k－1)×1＞0，解得k＜2；又因为一元二次方程的二次项系数≠0，即k≠1；所以k＜2且k≠1.注意：一元二次方程求字母范围时，不要忽略二次项系数不为0这个条件！练习：（1）若关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______．（2）若关于x的方程(m－1)x2－2x＋2＝0有实数根，则m的取值范围是____________.5.★一个二次三项式ax2＋bx＋c是完全平方式的条件：b2－4ac＝0.特别的，若二次项系数为1时，满足一次项系数一半的平方等于常数项时，也是完全平方式；例：若4x2＋8(n＋1)x＋16n是关于x的完全平方式，则满足b2－4ac＝0，即[8(n＋1)]2－4×4×16n＝0.练习：若9x2＋18(n－1)x＋18n是一个关于x的完全平方式，则n＝_____________．46.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.例：若x＝－2为一元二次方程x2－2x－m＝0的一个根，则m＝________，另一个根为________.分析：把x＝－2代入方程即可解得m的值.在求另一个根时，有两种方法，一种方法是把m的值代入方程，解方程即可；另一种方法是利用韦达定理x1＋x2＝－ba可知两根之和等于2，所以另一个根为4.练习：已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m2－4＝0有一个根是0，则m＝______，另一个根为_____．7.利用韦达定理求值时，几种常见的变形（把代数式变形成由x1＋x2和x1·x2组成）：（1）x12＋x22＝x12＋2x1x2＋x22－2x1•x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2（利用完全平方公式变形）（2）x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)（利用提公因式法因式分解）（3）(x1－x2)2＝x12＋x22－2x1•x2＝(x1＋x2)2－4x1·x2（利用完全平方公式变形）（4）x1x2＋x2x1＝x12＋x22x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2x1x2（利用通分和完全平方公式变形）8.★★若一个一元二次方程的两个根为x1、x2，则该一元二次方程可以写成(x－x1)(x－x2)＝0，若再规定二次项系数为a，则该一元二次方程可以写成a(x－x1)(x－x2)＝0.练习：已知一元二次方程的两个根为﹣2和3，二次项系数为2，则该一元二次方程为_______________．9.若2b(b≠0)是关于x的方程x2－2ax＋3b＝0的根，则a－b的值为________.分析：把2b代入方程得(2b)2－2a·2b＋3b＝0，即4b2－4ab＋3b＝0，提取公因式b得，b(4b－4a＋3)＝0，因为b≠0，所以4b－4a＋3＝0，解得a－b＝34.练习：若n(n≠0)是关于x的方程2x2＋6mx－3n＝0的一个根，则n＋3m的值为________.10.★★★一元二次方程的应用，掌握三类问题.（1）变化率问题．一般方程的形式为a(1±x)2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．解这类方程使用直接开平方法：先两边同除以a，再两边开平方即可求解.例：学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．解：设这两年的年平均增长率为x，根据题意得：5000(1＋x)2＝7200，即(1＋x)2＝1.44，开方得：1＋x＝1.2或1＋x＝－1.2，解得：x＝0.2＝20%，或x＝－2.2（舍去）．（2）市场营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题．一般设增加或降价x，然后用x表示变化后每件商品的利润，用x表示变化后的销量，最后根据“变化后每件商品的利润×变化后的销量＝总利润”列出方程．例：某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件，要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？解：设每件商品应降价x元，则降价后每件商品的利润为(360－x－280)元，降价后每月的销量为(5x＋60)件；由题意，得(360－x－280)(5x＋60)＝7200，解得：x1＝8，x2＝60∵更有利于减少库存，∴x＝60．5注意：要仔细审题，检验方程的两个根是否都符合题意，有时题目中会出现“要使顾客获得最大利益”或“更有利于减少库存”，再或者对商品的价格有具体的要求，这时应判断该舍去哪一个根．练习：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产100件，每件利润5元．每提高一个档次，每件利润增加1元，但一天产量减少4件．（1）求生产第5档次的产品一天的总利润为多少元？（2）若生产第x（其中x为正整数，且1≤x≤10）档次的产品一天的总利润为836元，求该产品的质量档次．（3）根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题．例：如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解析：解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100－4x）米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5．则100－4x＝20或100－4x＝80．∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20．练习：某农庄修建一个周长为120米的矩形休闲场所ABCD．矩形内筑一个正方形活动区EFGH和连结活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为6米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．已知草坪的造价为每平方米20元，鹅卵石的造价为每平方米100元．设AB为x米．（1）用含x的代数式表示BC；（2）求铺设鹅卵石区域的面积；（3）修筑这个矩形休闲场所的总费用2.784万元，求AB的长．11.（1）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，根据题意可列出方程为_______________．（2）某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张照片．如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为_______________．注意：理解什么情况下要除以2，什么情况下不用除以2.6第三章数据分