一次函数与方程、不等式(1)(共45张PPT)

人教版八年级数学下册学习目标1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系。２.会用数形结合的方法分析和解决问题。看下面两个问题之间的关系：（1）解方程2x+20=0（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？分析：可以从下面三个方面进行思考1对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同？3若作出y=2x+20图像（1）和（2）有什么关系？2从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？问题：（1）解方程2x+20=0（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？◆对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同？形式上2x+20=0y=2x+20一元一次方程一次函数问题：（1）解方程2x+20=0（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？◆从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？2x+20=0y=2x+20本质上（从“数”的角度看）解方程2x+20=0得x=-10当函数值为0时，所对应的自变量x的值也就是,当y=0时，得2x+20=0，解得x=-10从“数”上看序号一元一次方程问题一次函数问题1234当x为何值时,y=8x+3的值为0解方程-7x+2=-1当x为何值时,y=ax+b的值为0解方程ax+b=0解方程8x+3=0解方程3x－2=0当x为何值时,y=3x－2的值为0当x为何值时,y=-7x+2的值为-1可化为：-7x+3=0问题：（1）解方程2x+20=0（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？◆若作出y=2x+20图像，（1）和（2）有什么关系？xyo-1020y=2x+20从“形”的角度看：直线y=2x+20的图像与x轴的交点坐标为这说明方程2x+20=0的解是（-10，0）X=-10（-10,0）从“形”上看序号一次函数问题图像①②当x为何值时，y=2x-2的值为0x1yo-2当x为何值时，y=ax+b的值为0直线y=ax+b的图像与x轴的交点的横坐标问题：（1）解方程2x+20=0（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？结论：这两个问题实际上是同一个问题（只是表达形式不同）求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解当X为何值时y=ax+b的值为0求直线y=ax+b与X轴交点的横坐标从“数”的角度看从“形”的角度看求ax+b=0(a,b是常数，a≠0)的解下列方程与函数y=2x+1有什么关系？（1）2x+1=3（2）2x+1=0（3）2x+1=-1y=2x+12x+1=3求2x+1=3的解当y=3时，求函数y=2x+1的自变量x的值在y=2x+1的图像上确定当y=3时对应的横坐标xy=2x+132121-2Oxy-1-13答案：x=12x+1=0的解2x+1=-1的解1、0.5、-1由形到数由数到形一次函数与一元一次方程上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的函数值分别为3，0，-1的情况，而这三个方程的解则分别对应着此时自变量的值，即图象上A，B，C三点的横坐标．从函数的观点看：解一元一次方程ax+b=k，就是求当函数值为k时对应的自变量x的值◆一元一次方程ax+b=k（a≠0）与函数y=ax+b一次函数与一元一次方程的关系求ax+b=k（a≠0）的解（从“数”的角度）X为何值时，y=ax+b的值为k求ax+b=k（a≠0）的解当函数y=ax+b的纵坐标为k时，所对应的横坐标x的值（从“形”的角度）1、已知一次函数y=-2x+2,根据图像回答（1）当y=0时，求x的值；（2）当y=2时，求x的值32121-2Oxy-1-13解：(1)由图像可知：一次函数y=-2x+2与x轴的交点为（1，0）∴当y=0时，x=1(2)由图像可知：一次函数y=-2x+2与y轴的交点为（0，2）∴当y=2时，x=02.根据下列图象，将一次函数转化为一元一次方程，并直接说出相应方程的解方程5x=0的解是x=___方程x+2=0的解是x=____方程x-3=0的解是x=____y=5x0xyy=x+2-20xy方程-2.5x+5=0的解是x=___2y=-2.5x+50xy3y=x-3x0y3.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象肯定不是直线y=ax+b的是（）xy0-2(C)(D)xy0-2xy0-2(B)xy0-2-2(A)B从“数”上看（1）解不等式：2x-4＞0（2）当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0解：（1）解得x＞2（2）就是要使2x-4＞0，解得x＞2时，函数y=2x-4的值大于0议一议：在上面的问题解决过程中，你能发现它们之间有什么关系吗？从“数”的角度看它们是同一个问题试一试(根据一次函数与不等式的关系填空):求一次函数y=3x-6的函数值小于0的自变量的取值范围。求不等式3x+80的解集。(1)解不等式3x－60，可看作（2）“当自变量x取何值时，函数y=3x+8的值大于0”可看作从“形”上看问题3：如何用函数图像来解释：自变量x取何值时，函数y=2x-4的值大于0解：画出直线y=2x-4yxy=2x-4-420可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时,y=2x-4＞0从“形”的角度看它们是同一个问题-2xy=3x+6y例根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集(1)3x+60(3)–x+3≥0xy3y=-x+3(2)3x+6≤0X-2(4)–x+30x≤3X≤-2x3(即y0)(即y≤0)(即y0)(即y≥0)1、直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是，不等式-3x-30的解集是，不等式-3x-3≤0的解集是xoy-1y=-3x-3（-1,0）x-1x≥-1求ax+b＞0(或＜0)的解X为何值时，y=ax+b的值大于0（或小于0）求直线y=ax+b在X轴上方（或下方）部分所有点的横坐标从数的角度看从形的角度看求ax+b＞0(或＜0)的解例2下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．用一用32121-2Oxy-1-13y=3x+2y=2y=-1不等式ax+bc的解集就是使函数y=ax+b的函数值大于c时所对于的自变量x的取值范围．不等式ax+b0(a≠0)的解集是函数y=ax+b的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．巩固与应用1、直线y=mx+n与x轴的交点坐标是(2，0)不等式mx+n0的解集是。xoy2y=mx+nx22、当x时，直线y=-x+2上的点在x轴的下方。2xoy222题图1题图2-6xy0尝试题：用画函数图象的方法解不等式：不等式化为3x-6＜0画出函数y=3x-6的图像这时y=3x-6＜0∴此不等式的解集为x＜2y=3x-65x+4＜2x+10解：由图像可以看出：当x＜2时这条直线上的点在x轴的下方，解法二：把5x+4＜2x+10看做两个一次函数y=5x+4和y=2x+10,画出y=5x+4和y=2x+10的图像.10-5y=2x+10y=5x+42它们的交点的横坐标为2.当x＜2时直线y=5x+4上的点都在直线y=2x+10的下方.x＜2xy0144由图像可知即5x+4＜2x+10∴此不等式的解集为（4，0）x4x4x64x6y=2y=-1巩固题：1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升．请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y（m）与气球上升时间x（min）的函数关系．h1h2气球1海拔高度：y=x+5；气球2海拔高度：y=0.5x+15．二元一次方程与一次函数有什么关系？一次函数与二元一次方程组从数的角度看：就是求自变量为何值时，两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15的函数值相等，并求出函数值．拓展问题解方程组y=x+5y=0.5x+15什么时刻，1号气球的高度赶上2号气球的高度？大家会从数和形两方面分别加以研究吗？h1h2气球1海拔高度：y=x+5气球2海拔高度：y=0.5x+15二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．拓展问题A（20，25）302520151051020y=x+5y=0.5x+15155Oxy从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？2x+y=42x-3y=12用图象法解方程组：①②解：由①得:42xy由②得:432xy作出图象：观察图象得：交点(3,-2)∴方程组的解为x=3y=-2xoyy=-2x+4y=x-4练习巩固1.已知一次函数y=3x+5与y=2x+b的图象交点为(-1，2)，则方程组的解是_______,352yxyxb，继续尝试：二元一次方程与一次函数的关系以方程x+y=3的解为坐标的所有点组成的图象就是的图象.你会将二元一次方程x+y=3用x的式子表示y吗？一次函数y=3-x的图象上所有点的坐标都是二元一次方程x+y=3解吗？y=-x+3一次函数y=-x+3在一次函数y=3-x的图象上点(s,t)x=sy=t方程x+y=3的解在一次函数y=kx+b的图象上点(s,t)x=sy=t方程ax+by=c的解从形到数每个二元一次方程都可转化为一次函数思考：二元一次方程组与一次函数的关系任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合．对于①，根据方程组解的意义和函数的观点，就是求当x取什么数值时，两个—次函数的y值相等?它反映在图象上，就是求直线y=－0.6x+1.6和直线y=2x-1的交点坐标.12853yxyx①126.16.0xyxy642-2-4-55yX0gx=2x-1fx=-0.6x+1.6归纳总结:从数的角度看：从形的角度看：求二元一次方程组的解x为何值时，两个函数的值相等求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标一次函数与二元一次方程组125yxyx1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),则方程组的解为.2222yxyx22yx121xy22xy2、若二元一次方程组的解为,则函数与的图象的交点坐标为.32yx（2，2）3．根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?这些解是什么?12xy5853xy11xy03xyxy21-21xy0一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B初收月租费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择收费方式能使上网者更合算?解法1:设上网时间为x分,若按方式A则收费y=0.1x元;若按方式B则收费y=0.05x+20元在同一直角坐标系中分别画出这两个函数的图象解方程组40400,2005.01.0yxxyxy得所以两图象交于(400,40)400当0＜x＜＜400时，直线y=0.1x在直线y=0.05x+20的下方，0.1x＜0.05x+20，选A种方式合算当x=400时两者均可。当x＞400时，直线y=0.1x在直线y=0.05x+20的上方，0.1x＞0.05x+20，选B种方式合算20y/元x/分y=0.1xy=0.05x+200解法2：设上网时间为x分，方式A与方式B两种计费差额为y元，则y与x的函数关系式为:y=(0.05x+20)－0.1x=－0.05x+200一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B初收月租费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择收费方式能使上网者更合算?画出这个函数的图象400200yxO解方程－0.05x+200=0,得x=400,所以图象与x轴交点为(400,0)由图象可知:当0＜x＜400时,y＞0,选A方式合算当x=400时,y=0,两者均可;当x＞400时,y＞0,选B方式合算（1）对应关系①将方程组中各方程化为y=kx+b的形式；②画出各个一次函数的图象；③由交点坐标得出方程