解析几何中的定值和定点问题

1解析几何中的定值定点问题（一）一、定点问题【例1】．已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20xy相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设(4,0)P，M、N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．解：⑴由题意知32cea，所以22222234cabeaa，即224ab，又因为2111b，所以224,1ab，故椭圆C的方程为C：2214xy．⑵由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为(4)ykx①联立22(4)14ykxxy消去y得：2222(41)324(161)0kxkxk，由2222(32)4(41)(644)0kkk得21210k，又0k不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是306k或306k．⑶设点1122(,),(,)NxyExy，则11(,)Mxy，直线ME的方程为212221()yyyyxxxx，令0y，得221221()yxxxxyy，将1122(4),(4)ykxykx代入整理，得12121224()8xxxxxxx．②由得①2212122232644,4141kkxxxxkk代入②整理，得1x，所以直线ME与x轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】在直角坐标系xOy中，点M到点13,0F，23,0F的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线:lykxb与轨迹C交于不同的两点P和Q．⑴求轨迹C的方程；⑵当0APAQ时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．解：⑴∵点M到3,0，3,0的距离之和是4，∴M的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为23的椭圆，其方程为2214xy．2QPOyx⑵将ykxb，代入曲线C的方程，整理得22(14)8240kxkx，因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，所以222222644(14)(44)16(41)0kbkbkb①设11,Pxy，22,Qxy，则1228214kxxk，122414xxk②且2212121212()()()()yykxbkxbkxxkbxxb，显然，曲线C与x轴的负半轴交于点2,0A，所以112,APxy，222,AQxy．由0APAQ，得1212(2)(2)0xxyy．将②、③代入上式，整理得22121650kkbb．所以(2)(65)0kbkb，即2bk或65bk．经检验，都符合条件①，当2bk时，直线l的方程为2ykxk．显然，此时直线l经过定点2,0点．即直线l经过点A，与题意不符．当65bk时，直线l的方程为6556ykxkkx．显然，此时直线l经过定点6,05点，且不过点A．综上，k与b的关系是：65bk，且直线l经过定点6,05点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（mt,）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M),(11yx、),(22yxN，其中m0,0,021yy。（1）设动点P满足422PBPF,求点P的轨迹；（2）设31,221xx，求点T的坐标；（3）设9t,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由422PBPF，得2222(2)[(3)]4,xyxy化简得92x。3故所求点P的轨迹为直线92x。（2）将31,221xx分别代入椭圆方程，以及0,021yy得：M（2，53）、N（13，209）直线MTA方程为：0352303yx，即113yx，直线NTB方程为：032010393yx，即5562yx。联立方程组，解得：7103xy，所以点T的坐标为10(7,)3。（3）点T的坐标为(9,)m直线MTA方程为：03093yxm，即(3)12myx，直线NTB方程为：03093yxm，即(3)6myx。分别与椭圆15922yx联立方程组，同时考虑到123,3xx，解得：2223(80)40(,)8080mmMmm、2223(20)20(,)2020mmNmm。（方法一）当12xx时，直线MN方程为：222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020mmyxmmmmmmmmmm令0y，解得：1x。此时必过点D（1，0）；当12xx时，直线MN方程为：1x，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若12xx，则由222224033608020mmmm及0m，得210m，此时直线MN的方程为1x，过点D（1，0）。若12xx，则210m，直线MD的斜率2222401080240340180MDmmmkmmm，4直线ND的斜率222220102036040120NDmmmkmmm，得MDNDkk，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：0ykxmk与椭圆交于不同的两点MN、（MN、不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．解:（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则22222,223,,cbabc解得2,3,ab∴椭圆C的标准方程为22143xy．……4分（Ⅱ）由方程组22143xyykxm消去y，得2223484120kxkmxm．……6分由题意△22284344120kmkm，整理得：22340km①………7分设1122,,MxyNxy、，则122834kmxxk，212241234mxxk．………8分由已知，AMAN，且椭圆的右顶点为A(2,0)，∴1212220xxyy．……10分即2212121240kxxkmxxm，也即22222412812403434mkmkkmmkk，整理得2271640mmkk．解得2mk或27km，均满足①………11分当2mk时，直线l的方程为2ykxk，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27km时，直线l的方程为27ykx，过定点2(,0)7，5二、定值问题【例2】．已知椭圆的中心在原点，焦点F在y轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e；(Ⅱ)若F为焦点F关于直线32y的对称点，动点M满足MFeMF，问是否存在一个定点A，使M到点A的距离为定值？若存在，求出点A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为ac，，由已知得44,26aacac，解得，.所以椭圆的标准方程为2211612yx.离心率21.42e(Ⅱ)(0,2),(0,1)FF,设(,),Mxy由MFeMF得2222(2)12(1)xyxy化简得223314150xyy，即22272)()33xy（故存在一个定点7(0,)3A，使M到A点的距离为定值，其定值为2.3【例3】．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，P(2，0)为定点．(Ⅰ)若点P为抛物线的焦点，求抛物线C的方程；(Ⅱ)若动圆M过点P，且圆心M在抛物线C上运动，点A、B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使|AB|为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由．解：(Ⅰ)设抛物线方程为22(0)ypxp，则抛物线的焦点坐标为(,0)2p.由已知，22p，即4p，故抛物线C的方程是28yx．(Ⅱ)设圆心(,)Mab(0a)，点A1(0,)y，B2(0,)y.因为圆M过点P(2，0)，则可设圆M的方程为2222()()(2)xaybab.令0x，得22440ybya.则122yyb，1244yya.所以222121212||()()441616AByyyyyyba.，设抛物线C的方程为2(0)ymxm，因为圆心M在抛物线C上，则2bma.所以||416164(4)16ABmaaam.由此可得，当4m时，||4AB为定值．故存在一条抛物线24yx，使|AB|为定值4.6解析几何中的定值定点问题（二）1、已知椭圆C的离心率3e2，长轴的左右端点分别为1A2,0，2A2,0。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线xmy1与椭圆C交于P、Q两点，直线1AP与2AQ交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（Ⅰ）设椭圆C的方程为2222xy1ab0ab。…………………1分∵a2，c3ea2，∴c3，222bac1。………………4分∴椭圆C的方程为222xy14。………………………………………5分（Ⅱ）取m0,得33P1,,Q1,22，直线1AP的方程是33yx,63直线2AQ的方程是3yx3,2交点为1S4,3.…………7分,若33P1,,Q1,22，由对称性可知交点为2S4,3.若点S在同一条直线上，则直线只能为:x4。…………………8分以下证明对于任意的m,直线1AP与直线2AQ的交点S均在直线:x4上。事实上，由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4y2my30，记1122Px,y,Qx,y，则1212222m3yy,yym4m4。…………9分设1AP与交于点00S(4,y),由011yy,42x2得1016yy.x2设2AQ与交于点00S(4,y),由022yy,42x2得2022yy.x2………101200126y2yyyx2x21221126ymy12ymy3x2x21212124myy6yyx2x2221212m12mm4m40x2x2，…∴00yy，即0S与0S重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x4上。13分解法二：（Ⅱ）取m0,得33P1,,Q1,22，直线1AP的方程是33yx,63直线2AQ的方程是3yx3,2交点为1S4,3.…………………………………………7分7取m1,得83P,,Q0,155，直线1AP的方程是11yx,63直线2AQ的方程是1yx1,2交点为2S4,1.∴若交点S在同一条直线上，