大学物理(北邮电版)习题2答案

习题二2-1一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1m的物体，另一边穿在质量为2m的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a下滑，求1m，2m相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)．解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为1a，其对于2m则为牵连加速度，又知2m对绳子的相对加速度为a，故2m对地加速度，由图(b)可知，为aaa12①又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T，由牛顿定律，有111amTgm②222amgmT③联立①、②、③式，得2121211212212211)2()()(mmagmmTfmmamgmmammamgmma讨论(1)若0a，则21aa表示柱体与绳之间无相对滑动．(2)若ga2，则0fT，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时1m,2m均作自由落体运动．2-2一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度0v运动，0v的方向与斜面底边的水平线AB解:物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取0v方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.题2-2图X方向：0xFtvx0①Y方向：yymamgFsin②0t时0y0yv2sin21tgy由①、②式消去t，得220sin21xgvy2-3质量为16kg的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为xf＝6N，yf＝-7N，当t＝0时，yx0，xv＝-2m·s-1，yv＝0．求当t＝2s(1)位矢；(2)解：2sm83166mfaxx2sm167mfayy(1)20101200sm872167sm452832dtavvdtavvyyyxxx于是质点在s2时的速度1sm8745jiv(2)m874134)167(21)4832122(21)21(220jijijtaitatvryx2-4质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的速度为0v，证明(1)t时刻的速度为v＝tmkev)(0；(2)由0到t的时间内经过的距离为x＝(kmv0)［1-tmke)(］；(3)停止运动前经过的距离为)(0kmv；(4)证明当kmt时速度减至0v的e1，式中m为质点的质量．答:(1)∵tvmkvadd分离变量，得mtkvvdd即vvtmtkvv00ddmktevvlnln0∴tmkevv0(2)tttmkmkekmvtevtvx000)1(dd(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，故有000dkmvtevxtmk(4)当t=km时，其速度为evevevvkmmk0100即速度减至0v的e1.2-5升降机内有两物体，质量分别为1m，2m，且2m＝21m．用细绳连接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a＝21g上升时，求：(1)1m和2m相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m，2m的加速度各为多少?解:分别以1m,2m为研究对象，其受力图如图(b)所示．(1)设2m相对滑轮(即升降机)的加速度为a，则2m对地加速度aaa2；因绳不可伸长，故1m对滑轮的加速度亦为a，又1m在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以1m在水平方向对地加速度亦为a，由牛顿定律，有)(22aamTgmamT1联立，解得ga方向向下(2)2m对地加速度为22gaaa方向向下1m在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即牵相绝aaa'∴gggaaa25422221aaarctano6.2621arctan，左偏上．2-6一质量为m的质点以与地的仰角=30°的初速0v从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．解:依题意作出示意图如题2-6图题2-6图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为o30，则动量的增量为0vmvmp由矢量图知，动量增量大小为0vm，方向竖直向下．2-7一质量为m的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞．并在抛出1s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等．求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向．并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒?解:由题知，小球落地时间为s5.0．因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为ggtv5.01，小球上跳速度的大小亦为gv5.02．设向上为y轴正向，则动量的增量12vmvmp方向竖直向上，大小mgmvmvp)(12碰撞过程中动量不守恒．这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用．另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒．（碰撞过程中外力—重力一直存在，不满足动量守恒条件）2-8作用在质量为10kg的物体上的力为itF)210(N，式中t的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度j6m·s-1的物体,回答这两个问题．解:(1)若物体原来静止，则itittFpt10401smkg56d)210(d,沿x轴正向，ipIimpv111111smkg56sm6.5若物体原来具有61sm初速，则tttFvmtmFvmpvmp000000d)d(,于是tptFppp0102d,同理，12vv,12II这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即tttttI0210d)210(亦即0200102tt解得s10t，(s20t舍去)2-9一质量为m的质点在xOyjtbitarsincos求质点的动量及t＝0到2t内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量．解:质点的动量为)cossin(jtbitamvmp将0t和2t分别代入上式，得jbmp1,iamp2,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为)(12jbiampppI2-10一颗子弹由枪口射出时速率为10smv，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F=(bta)N(ba,为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．解:(1)由题意，子弹到枪口时，有0)(btaF,得bat(2)子弹所受的冲量tbtattbtaI0221d)(将bat代入，得baI22(3)由动量定理可求得子弹的质量0202bvavIm2-11一炮弹质量为m，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且一块的质量为另一块质量的k倍，如两者仍沿原方向飞行，试证v+mkT2,v-kmT2证明:设一块为1m，则另一块为2m，21kmm及mmm21于是得1,121kmmkkmm①又设1m的速度为1v,2m的速度为2v，则有2222211212121mvvmvmT②2211vmvmmv③联立①、③解得12)1(kvvkv④将④代入②，并整理得21)(2vvkmT于是有kmTvv21将其代入④式，有mkTvv22又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取kmTvvmkTvv2,221证毕．2-12设N67jiF合．(1)当一质点从原点运动到m1643kjir时，求F所作的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．解:(1)由题知，合F为恒力，∴)1643()67(kjijirFA合J452421(2)w756.045tAP(3)由动能定理，J45AEk2-13以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击解:以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为题2-13图kyf第一锤外力的功为1AsskykyyfyfA1012ddd①式中f是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在0dt时，ff．设第二锤外力的功为2A，则同理，有21222221dykkyykyA②由题意，有2)21(212kmvAA③即222122kkky所以，22y于是钉子第二次能进入的深度为cm414.01212yyy2-14设已知一质点(质量为m)在其保守力场中位矢为r点的势能为nPrkrE/)(,试求质点所受保守力的大小和方向．解:1d)(d)(nrnkrrErF方向与位矢r的方向相反，即指向力心．2-15一根劲度系数为1k的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为2k的轻弹簧B，B的下端一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势解:弹簧BA、及重物C受力如题2-15图所示平衡时，有题2-15图MgFFBA又11xkFA22xkFB所以静止时两弹簧伸长量之比为1221kkxx弹性势能之比为12222211121212kkxkxkEEpp2-16(1)试计算月球和地球对m物体的引力相抵消的一点P，距月球表面的距离是多少?地球质量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距离3.84×108m，月球质量7.35×1022kg，月球半径1.74×106m．(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少?解:(1)设在距月球中心为r处地引月引FF，由万有引力定律，有22rRmMGrmMG地月经整理，得RMMMr月地月=2224221035.71098.51035.781048.3m1032.386则P点处至月球表面的距离为m1066.310)74.132.38(76月rrh(2)质量为kg1的物体在P点的引力势能为rRMGrMGEP地月72411722111083.34.381098.51067.61083.31035.71067.6J1028.162-17由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为1m和2m的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，2m与桌面间的摩擦系数为，最初1m静止于A点，AB＝BC＝h，绳已拉直，现令滑块落下1m,求它下落到B处时的速率．解:取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有])(21[)(21212212lkghmvmmghm式中l为弹簧在A点时比原长的伸长量，则hBCACl)12(联立上述两式