第一章-复数与复变函数

复变函数教案2012—2013学年度第二学期任课教师郭城课程名称复变函数采用教材高教三版（钟玉泉编）周课时数4数统学院数学教育专业2010年级1班引言数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4acO，就会遇到负数开平方的问题，最简单的一个例子是在解方程x2+1=0时，就会遇到开平方的问题。1545年，意大利数学物理学家HCardan（卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)xx+1154=0的根，它求出形式的根为515和515，积为25(15)40．然而这只不过是一种纯形式的表示而已，当时，谁也说不上这样表示究竟有什么好处。为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。但最初，由于对复数的有关概念及性质了解不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变。另外的原因，是这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔一欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉(Euler)作出的。他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上，用符号“i”作为虚数的单位，也是他首创的。此后，复数才被人们广泛承认和使用。在复数域内考虑问题往往比较方便，例如，一元n次方程在复数域内恒有解。这就是著名的代数学基本定理，它用复变函数来解决是非常简洁的。又如，在实数域内负数的对数无意义，而在复数域内我们就可以定义负数的对数。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。在十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy)、德国数学家黎曼(Riemann)和维尔斯特拉斯(Weierstrass)的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并深刻地渗人到代数学、解析数论、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学、和电学等方面也有很多的应用。二十世纪以来，复变函数已经被广泛应用到理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也Et益密切。致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论以及拟保形变换等。另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中。现在。复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。第一章复数与复变函数1．教学目的复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。本章主要介绍复数和复变函数的基本概念，通过本章教学，使学生明确复变函数要研究的对象是解析函数，其理论基础是建立在复数域和复平面上。2．教学基本要求理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、无穷远点、扩充复平面等概念；理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质；进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。3．教学重点和难点重点是复变函数的概念、极限与连续性；难点是无穷远点及无穷远点邻域。4．学法指导以自习为主，通过讲授1节习题课来加强学生对该章主要概念的理解。5．教学内容与课时分配章节课时§1复数2课时§2复平面上的点集2课时§3复变函数2课时§4复球面与无穷远点1课时习题课1课时教学内容§1复数教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角；掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算.重点：德摩弗()DeMoiVre公式.难点：德摩弗()DeMoiVre公式.课时：2学时.1．复数域形如zxiy或zzyi的数，称为复数，其中x和y均是实数，称为复数z的实部和虚部，记为Rexz，Imyz1i，称为虚单位．两个复数111zxiy，与222zxiy相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12xx且12yy虚部为零的复数可看作实数，即0xix，特别地，000i，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数xiy和xiy称为互为共轭复数，记为()xiyxiy或xiyxiy设复数111zxiy，222zxiy，则复数四则运算规定：121212()()zzxxiyy1212121221()()zzxxyyixyxy1121221122222222222(0)zxxyyxyxyizzxyxy容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．２．复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数zxiy实际上是由一对有序实数(,)xy唯一确定．因此，如果我们把平面上的点(,)xy与复数zxiy对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．由于x轴上的点和y轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x轴为实轴，称y轴为虚轴，这样表示复数z的平面称为复平面或z平面．引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”．3．复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数zxiy与从原点到点z所引的向量oz也构成一一对应关系（复数O对应零向量）．从而，我们能够借助于点z的极坐标r和来确定点zxiy，向量oz的长度称为复数z的模，记为图1.1图1.1220rzxy.显然，对于任意复数zxiy均有xz，yz，zxy(1.1)另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式1212zzzz(1.2)（三角形两边之和第三边，图1.2）图1.21212zzzz(1.3)（三角形两边之差第三边，图1.3）图1.3(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数1z，2z分别与12zz及12zz所表示的三个向量共线且同向．向量oz与实轴正向间的夹角满足yxtan称为复数z的幅角()Argument，记为Argz由于任一非零复数z均有无穷多个幅角，若以Argz表示其中的一个特定值，并称满足条件Argz(1.4)的一个值为Argz的主角或z的主幅角，则有arg2Argzzk(1.5)(0,1,2,)k注意：当0z时，其模为零，幅角无意义．从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数z，即有(cossin)zri(1.6)同时我们引进著名的欧拉()Euler公式：cossiniei(1.7)则(1.6)可化为izre(1.8)(1.6)与(1.8)式分别称为非零复数z的三角形式和指数形式，由(1.8)式几指数性质即可推得复数的乘除有12121122()121212()111222iiiiiizzrerrrezrerezrr(1.9)因此1212zzzz，1122zzzz2(0)z(1.10)12121122()ArgzzArgzArgzzArgArgzArgzz(1.11)公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数1z，2z的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）．特别当21z时可得12()12izzre此即说明单位复数21z乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．另外，也可把公式(1.11)中的Argz换成argz（某个特定值），若argz为主值时，则公式两端允许相差2的整数倍，即有12121122()2()2ArgzzargzargzkzArgargzargzkz(1.12)公式(1.9)可推广到有限个复数的情况，特别地，当12nzzz时，有()(cossin)ninninnzrereri当1r时，就得到熟知的德摩弗()DeMoiVre公式：(cossin)cossinninin(1.13)例1.1求cos3及sin3用cos与sin表示的式子解：3cos3sin3(cossin)ii（）=3223cos3cossin3cossinsinii323cos3cos3cossin4cos3cos233sin33cossinsin3sin4sin4.曲线的复数方程例1.2连接1z及2z两点的线段的参数方程为121()(01)zztzzt过1z及2z两点的直线（图）的参数方程为121()()zztzzt例1.3z平面上以原点为心，k为半径的圆周的方程为zRz平面上以0z为心，R为半径的圆周的方程为0zzR例1.4z平面上实轴的方程为Im0z，虚轴的方程为Re0z.作业:第42页2,3,4§2复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理.重点：区域的概念,约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1.几个基本概念定义1.1满足不等式0zz的所有点z组成的平面点集（以下简称点集）称为点0z的邻域，记为0Nz（）．显然，0Nz（）即表示以0z为心，以为半径的圆的内部定义1.2设E为平面上的一个点集，若平面上一点0z的任意邻域内巨有E的无穷多个点，则称0z为E的内点．定义1.3若E的每个聚点都属于E，则称E为闭集．若E的所有点均为内点，则称E为开集定义1.4若0M，zE，均有zM则称E为有界集，否则称E为无界集．2.区域与约当()Jordan曲线定义1.5若非空点集D满足下列两个