第二章-解析函数

第二章解析函数§1解析函数的概念与柯西-黎曼方程教学目的与要求:了解复变函数的导数与微分;掌握复变函数解析的充要条件;理解柯西-黎曼条件.重点：函数解析的概念与柯西-黎曼方程.难点：函数在一点解析的概念.课时：2学时.１．复变函数的导数与微分定义2.1设函数()wfz在点0z的邻域内（或含0z的区域D内）有定义，若极限000()()limzfzzfzz（00zzz）（2.1）存在，则称此极限为函数()fz在点0z的导数，记为0()fz，这时也称()fz在点0z可导．定义2.2若函数()wfz在点0z可导，则称0()fzz为函数()wfz在点0z的微分，记为0zzdf或0()zzdwz即00()()zzdwzfzz（2.2）此时也称()fz在点0z可微．特别地，当()fzz时，dzz，于是（2.2）变为00()zzdwfzdz即00()zzdwfzdz由此可见，在复变函数中，()fz在点0z可导与()fz在点0z可微是等价的．函数由()fz在点z可导与可微的概念与数学分析中的可导与可微这两个概念相类似，因此数学分析中求导基本公式，均可类似地推广到复变函数中来．同时，与数学分析中一样，函数()fz在点z可微，则()fz在点z连续，反之不一定成立，但在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得．例2.1()fzz在z平面上处处不可微．证明：由第一章习题11，知()fzz在z平面上处处连续，但对于任意一点0z．000000()()fzzfzzzzzzzzzzzz当z取实数趋于零时，上述极限为1，而当z取纯虚数趋于零时，上述极限为1，因此上述极限不存在，即()fz在点0z不可导，由0z的任意性知()fz在点z平面上处处不可微．如果函数()fz在区域D内每一点都可微，则称()fz在区域D内可微．例2.2()nfzz（n为正整数）在z平面上可微，且000000()()()limlimnnzzfzzfzzzzzz122110000lim[()]nnnnnznzCzzznz即100()nfznz２．解析函数及其简单性质定义2.3若函数()wfz在区域D内可微，则称()fz为区域D内的解析函数（或全纯函数、正则函数）．此时也称()fz在区域D内解析．解析函数是复变函数论研究的主要对象，它与相伴区域密切相关．以后说到()fz在某点解析．则表示()fz在该点的某一邻域内解析，说()fz在闭域D上解析，则表示()fz在包含D的某个区域内解析．因而解析这个概念要比可微的概念条件要强得多．与数学分析一样，解析函数也有如下基本性质：（１）若12(),()fzfz在区域D内解析，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母在D内不为零）也在D内解析，且1212[()()]()()fzfzfzfz121212[()()]()()()()fzfzfzfzfzfz112122222()()()()()[](()0)()[()]fzfzfzfzfzfzfzfz（２）（复合函数求导法则）设()fz在区域D内解析，()wg在区域G内解析，若zD均有()fzG，则[()]wgf在D内解析，且[()]()()dgfzdgdfzdzddz例2.3设多项式110()(0)nnnnnPzazazaa，则由例2.2及基本性质（１）知，()Pz在z平面上解析，且1211()(1)nnnnPznaznaza例2.4设326()(452)fzzz，则由例2.2及基本性质（２）知有3252()6(452)(1210)fzzzzz对于参数方程()()()([,])ztxtiytt，则可直接由定义2.1求得()()()([,])ztxtiytt３．柯西（Cauchy）－黎曼（Riemann）条件（简称CR条件）设()(,)(,)wfzuxyivxy下面我们来探讨()fz的可微性与二元实函数(,)uxy及(,)vxy之间存在的关系．若()(,)(,)fzuxyivxy在点zxiy可微，且设0()()lim()zfzzfzfzz（2.3）又设zxiy，()()fzzfzuiv其中(,)(,)uuxxyyuxy(,)(,)vvxxyyvxy则（2.3）变为00lim()zyuivfzxiy（2.4）由于当zxiy不论按什么方向趋于零时，（2.4）式总是成立，因此我们可以先设0,0yx，即点zz沿着平行于实轴的方向趋于点z（图２－１），图2.1则此时（2.4）变为00limlim()xxuvifzxx由此即知,uvxx均存在，且有（2.5）同理，设0,0xy，即点zz沿着平于虚轴的方向趋于点z（图），此时（2.4）变为limlim()uvifzyy故,uvyy亦都存在，且有()uvifzyy（2.6）由（2.5），（2.6）及复数相等性质可得uvxy，uvyx（2.7）（2.7）称为柯西－黎曼条件或柯西－黎曼方程，简称为CR条件总结上述讨论，即得：定理2.1（可微的必要条件）设函数()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内有定义，且在D内一点zxiy可微，则有（１）在点(,)xy处偏导数,,,xyxyuuvv都存在；（２）(,)uxy，(,)vxy在点(,)xy满足CR条件，但定理2.1的逆不成立．例2.5函数()fzxy在0z满足定理2.1的条件，在0z不可微．证明(,)uxyxy(,)0vxy0(,0)(0,0)(0,0)lim0(0,0)xyxuxuuvx0(0,)(0,0)(0,0)lim0(0,0)yxyuyuuvy但是由于()(0)xyfzfzxiy因此当z沿着射线(0)ykxx随着0x时，1xykxiyki它是一个与k有关的值，故不存在，即()fz在0z不可微，0()(0)limzfzfz但是，只要适当加强定理2.1的条件，就可得到定理2.2设()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内有定义，则()fz在D内一点zxiy可微（或在D内解析）的充要条件是：（１）(,)uxy，(,)vxy在点(,)xy（或在D内）可微；（２）(,)uxy，(,)vxy在点(,)xy（或在D内）满足CR条件．当上述条件满足时，有()uvvufziixxyy(2.8)例2.6讨论2()fzz的解析性．解：22(,),(,)0uxyxyvxy2,2,2,0xyxxyuxuyvyvv(,),(,)uxyvxy只在0z处满足CR条件，故()fz只在0z可微，因此()fz在z平面上处处不解析．例2.7试证()(cossin)xfzeyiy在z平面上处处解析，且()()fzfz．证明：(,)cos,(,)sinxxuxyeyvxyeycos,sinxxxyueyuey，sin,cosxxxyveyvey．(,),(,)uxyvxy在z平面上处处可微，且满足CR条件，故由定理2.2知()fz在z平面上处处解析．且由公式（2.8）知()cossin()xxxxfzuiveyieyfz作业:第90页2,3,4(1)(3)5(2)(4),6(1)(3)§２初等解析函数教学目的与要求:掌握指数函数与三角函数的性质,掌握它们与数学分析中的指数函数与三角函数的性质的异同点.重点：指数函数与三角函数的性质与数学分析中的指数函数与三角函数的性质的异同点.难点：指数函数与三角函数的性质.课时：2学时.１.指数函数定义2.3对于任意复数zxiy，则规定(cossin)zxiyxeeeyiy（2.9）为复指数函数．复指数函数ze具有以下基本性质：(1)当zx（0,yx为实数）时，则zxee即为通常的实指数函数．(2)0zxee（故0ze），argzey．(3)ze在平面上解析，且()zzee（例2.7）(4)加法定理成立，即1212zzzzeee(5)ze以2i为基本周期．因为对任意整数，22zkizkizeeee．(6)limzze不存在．因为当z沿实轴趋于时，ze，当z沿实轴趋于时，ze在关系式(2.9)中，当0x时就得到欧拉公式cossiniyeyiy即(2.9)是欧拉公式的推广．２．三角函数由(2.9)式，当0x时，有cossiniyeyiycossiniyeyiy．从而有sin,cos22iyiyiyiyeeeeyyi据此，我们给出复三角函数的定义如下：定义2.4规定sin,cos22izizizizeeeezzi为复数z的正弦函数和余弦函数．容易验证，这种定义的正弦和余弦函数具有如下性质：(1)当z为实数时,与通常的实正弦和余弦函数一致．(2)它们都在z平面上解析，且(sin)cos,(cos)sinzzzz．(3)sinz是奇函数，cosz是偶函数，且通常的三角恒等式亦成立，如22sincos1zz，121212sin()sincoscossinzzzzzz，121212cos()coscossinsinzzzzzz．等等．例如2222sincos()()22izizizizeeeezzi222211(2)(2)144izizizizeeee(4)sinz及cosz均以2为基本周期．(2)(2)(sin2)2izizeezi22sin22iziiziizizeeeeeezii同理可证(cos2)coszz．(5)sinz的零点（即sin0z的根）为zn（0,1,n）cosz的零点为1()2zn（0,1,n）(6)在复数域内，不等式sin1,cos1zz不成立．例如，取ziy（0y），则()()coscos222iiyiiyyyyeeeeeziy当y时，2ye，故cos1z不成立．例2.8对任意复数z，若sin()sinzwz，则必有2wk（k为整数）证明：sin()sinzwzsin()sin0zwz即有2sincos()022wwz从而sin02w或cos()02wz由性质(5)知2wk或1()22wk故推得2wk（k为整数）与实三角函数一样，我们可定义其它的复三角函数：定义2.5规定sintancoszzz，coscotsinzzz1seccoszz，1cscsinzz．为复数z的正切、余切、正割、余割函数．这四个函数均在z平面上除坟墓为零的点外解析，且2(tan)seczz2(cot)csczz(sec)sectanzzz2(csc)csccotzzz．正切、余切的基本周期为，正割、余割的基本周期为2．作业:第91页7,910(1)(3),13(1)3初等多值解析函数教学目的与要求:了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质.重点：初等多值解析函数多值产生的原因.难点：支点与单叶性区域的划分；初等多值解析函数多值产生的原因.课时：4学时.定义2.6设函数()fz在区域D内有定义，且对D内任意不同的两