勾股定理全章综合复习

1课题勾股定理综合复习讲义学习目标1、勾股定理的证明、三角形形状的判断2、勾股定理的几何应用3、最短距离及航海问题重点难点勾股定理的逆定理及其应用考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有222cba勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2）与直角三角形有关的结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。（1）在Rt△ABC中，∠C=90°①若a=15，c=25，则b=___________；②若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。（2）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）A.222abcB.222acbC.222cbaD.以上都有可能（3）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（4）一架5cm长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这是梯子下端距离墙的底端1.4，若梯子顶端下滑了0.8m,则梯子底端将滑动例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。（2）已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A、242cmB、362cmC、482cmD、602cm（3）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对（4）已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5B、25C、7D、152考点二：勾股定理的逆定理（1）逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，222cba，那么这个三角形是直角三角形。（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)…..（n为正整数）（3）直角三角形的判定方法：①如果三角形的三边长a,b,c有关系，222cba，那么这个三角形是直角三角形。②有一个角是直角的三角形是直角三角形。③两内角互余的三角形是直角三角形。④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例1：勾股数的应用（1）若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（3）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a:b:c=8∶16∶17B．a2-b2=c2C．a2=(b+c)(b-c)D．a:b:c=13∶5∶12（4）三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是()A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形（5）直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（6）若△ABC的三边长a,b,c满足222abc20012a16b20c，试判断△ABC的形状。例3：求最大、最小角的问题（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。3（2）已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。考点三：勾股定理的应用例1：面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A.13B.26C.47D.94ABCDES2S3S1ABCS3S2S1（图1）（图2）（图3）（2）如图，△ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（）A.S1+S2S3B.S1+S2=S3C.S2+S3S1D.以上都不是（3）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3S1D.S2-S3=S1例2：求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。（2）在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？CADB例3：最短路程问题（1）如图1，已知圆柱体底面圆的半径为2，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是。（结果保留根式）（2）如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为。ABCDBA4（图1）（图2）例4：航海问题（1）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．（2）（深圳）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。东北3060BACMD（图1）例5：网格问题（1）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C．2D．3（2）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对（3）如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()A．25B.12.5C.9D.8.5BCAABCDCBA（图1）（图2）（图3）例6：图形问题（1）如图1，求该四边形的面积（2）如图2，已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=2，AB=3+1，则边BC的长为．431213BCDA（图1）（图2）5（3）将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围。4）已知直角三角形的三边长为6、8、x，则以x为边的正方形的面积为_____.（5）如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要____米.5米3米（6）如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.（7）“交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？拓展提高：例1.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长21EDCBA例2．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．观测点小汽车小汽车BCA6例3．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．提高练习：1、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为__________．3、如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在D/处，则重叠部分△AFC的面积是多少？ABCDEFGABCDFD/74．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝______，第n个正方形的面积Sn＝______．6、如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？7、如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；并求AC+CE的最小值；（2）若x+y=12，x＞0，y＞0请仿照（1）中的规律，运用构图法求出代数式的最小值．8、梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（）A.2.5ABB.3ABC.3.5ABD.4AB9、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是_________．810、如图：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．11、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．9