数列综合练习

1数列综合练习一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于().A.1B.2C.4D.82．若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),则a4等于A.11B.15C.17D.203．已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6等于A.18B.20C.21D.324.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)=12n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是A.5年B.6年C.7年D.8年5．设Sn为等差数列{an}的前n项和,(n+1)SnnSn+1(n∈N*)若87aa＜-1则A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S76．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是()A．0B．1C．2D．0或27．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于()A.80B.30C.26D.168．若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为().A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-29．等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.810．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于()2A.6B.7C.8D.911.设数列{2n-1}按第n组有n个数(n是正整数)的规则分组如下:(1),(2,4),(8,16,32),…,则第101组中的第一个数为()A.24951B.24950C.25051D.2505012．已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+),则an等于()A.2n-1B.nC.2n-1D.132n二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是__________．14．设数列{an}为公比q1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.15．已知两个数列{an},{bn}满足bn=3nan,且数列{bn}的前n项和为Sn=3n-2,则数列{an}的通项公式为.16.若数列{an}满足111nnaa=d(n∈N+,d为常数),则称数列{an}为调和数列,已知数列1{}nx为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=.三、解答题：本大题共3小题，满分45分．17．(10分)已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；(2)求an的通项公式．318．(15分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(1)求通项公式an;(2)求数列{|an-n-2|}的前n项和.19．(15分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列21211{}nnnaa的前项和20．(10分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．421．(15分)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.22．(15分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值;(2)当b=2时,记*1()4nnnbnNa,求数列{bn}的前n项和Tn.5参考答案一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．解析：∵a3a112716,a且an0,∴a7=4.∴a5722412aq答案:A2．解析：a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3．解析：因为{an},{bn}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即a5+b6=2(a3+b8)-(a1+b10)=2×15-9=21.答案:C4．解析：由题意可知第一年的产量为a1=12×1×2×3=3;以后各年的产量分别为an=f(n)-f(n-1)=12n(n+1)(2n+1)-12(n-1)·n·(2n-1)=3n2.令3n2≤150,∴1≤n≤52又n∈N+,∴1≤n≤7,即生产期限最长为7年.答案:C5.解析:由(n+1)SnnSn+1,得(n+1)·111()(1)(),22nnnaanaan＜整理得anan+1,所以等差数列{an}是递增数列.又871,aa＜所以a80,a70,所以数列{an}的前7项为负值,即Sn的最小值是S7.答案:D6．解析：由题意，得b2＝4ac，令ax2＋bx＋c＝0，∴Δ＝b2－4ac＝0，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切，故选B.6答案：B7．解析：设S2n=a,S4n=b,由等比数列的性质知2(14-a)=(a-2)2,解得a=6或a=-4(舍去),同理(6-2)(b-14)=(14-6)2,所以b=S4n=30.答案:B8．解析：Sn=(2+22+…+2n)+(1+3+5+…+2n-1)122(12)(121)22122nnnn答案:C9.解析:设等差数列的公差为d,则d≠0,23a=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+652×(-2)=-24,故选A.答案:A10．答案:A11．解析：前100组共有1+2+3+…+100=5050个数,则第101组中的第一个数为数列{2n-1}的第5051项,该数为25050.答案:D12．解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)(n∈N+),∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减得2an=3an-1(n≥2),又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1,∴数列{an}是首项为1,公比为32的等比数列,∴an=.132n答案:D二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。13．解析：设此三数为3，a，b则2a＝3＋ba－62＝3b，解得a＝3b＝3，或a＝15b＝27.∴这个未知数为3或27.答案：3或27714.解析：由题意得a4＋a5＝2，a4a5＝34，∵q1，∴a5a4，解得a4＝12，a5＝32，∴q＝3，∴a6＋a7＝a5(q＋q2)＝18.答案：1815．解析：由题意可知3a1+32a2+…+3nan=3n-2.①当n=1时,a1=13;当n≥2时,3a1+32a2+…+3n-1an-1=3(n-1)-2,②①-②,得3nan=3,an=113n,此时,令n=1,有a1=1,与a1=13相矛盾.故an=11,131,23nnn答案:an=11,131,23nnn16.解析：由题意知,若{an}为调和数列,则1{}na为等差数列,∴由1{}nx为调和数列,可得数列{xn}为等差数列.由等差数列的性质知,x5+x16=x1+x20=x2+x19=…=x10+x11=20010=20.答案:20三、解答题：本大题共3小题，满分45分．17解：(1)由已知得an＋1＝a2n＋2an，∴an＋1＋1＝a2n＋2an＋1＝(an＋1)2∵a1＝2，∴an＋1＋1＝(an＋1)20，∴lg(1＋an＋1)＝2lg(1＋an)8即lg1＋an＋1lg1＋an＝2，且lg(1＋a1)＝lg3∴{lg(1＋an)}是首项为lg3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，lg(1＋an)＝2n－1·lg3＝lg32n－1∴1＋an＝32n－1∴an＝32n－1－1.18.解：(1)由题意12121241,213aaaaaa则又当n≥2时,由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an.所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1,n∈N*.(2)设bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1.当n≥3时,由于3n-1n+2,故bn=3n-1-n-2,n≥3.设数列{bn}的前n项和为Tn,则T1=2,T2=3.当n≥3时,Tn=3229(13)(7)(2)35+111322nnnnnn所以Tn2*2,13511,2,2nnnnnnN19.解：(1)设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1(1)2nnd由已知可得113305105adad解得a1=1,d=-1.故数列{an}的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知212111111()(32)(12)22321nnaannnn9从而数列21211{}nnaa的前n项和为20．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a3＝－6，a6＝0.∴a1＋2d＝－6a1＋5d＝0，解得a1＝－10d＝2，∴an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.∵b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8.∴－8q＝－24，∴q＝3.∴{bn}的前n项和为Sn＝b11－qn1－q＝－81－3n1－3＝4(1－3n)．21.解：(1)等比数列{bn}的公比q3293,3bb所以b12431,27bbbqq设等差数列{an}的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.所以an=2n-1(n=1,2,3,…).(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.从而数列{cn}的前n项和Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1102(121)13312132nnnnn22.解析:(1)由题意,得Sn=bn+r,当n≥2时,Sn-1=bn-1+r,an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).∵b0,且b≠1,∴当n≥2时,数列{an}是以b为公比的等比数列.又a1=b+r,a2=b(b-1)21,aba(1)bbbbr即，解得r=-1.(2)由(1)知,an=(b-1)bn-1=2n-1,n∈N*,∴bn1111422nnnnTn234123412222nn两式相减,得23412121111222222nnnnT31211(1)112212212nnn12311422nnn故Tn113113322222nnnnn