9.3三角形的角平分线、中线和高

9.3三角形的角平分线、中线和高1.了解三角形的高、角平分线与中线的概念，会用工具准确画出三角形的高、角平分线与中线;（重点）2.学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.（难点）学习目标情境引入这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？三角形的角平线一温故知新问题1如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ACBO答：∠AOC=∠BOC问题2你能通过折纸的方法找到△ABC中∠A的平分线吗?ＣＡＢ在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.ACBＤ知识要点三角形的角平分线12三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.ABCD“∠1=∠2角平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段．.注意AD是△ABC的角平分线.问题3每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?(2)你能用折纸的办法得到它们吗?(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?三角形的三条角平分线交于同一点.观察发现三角形的中线二问题1如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ACBAC=BC=AB12合作探究问题2类比三角形的角平分线的概念，试说明什么叫三角形的中线？ABC如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.D连接三角形的一个顶点与它对边中线的线段叫作三角形的中线.如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ABCABCABCDEFDDEFEFOOO三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫作这个三角形的重心.如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点O，则点O为△ABC的重心.例1如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3cm，求AB与AC的长.ACDB解：∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD.∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，∴AC+AB=35-11=24（cm）.又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm,∴AB-AC=3，∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.典例精析三角形的高二问题1什么是三角形的高？问题2怎样画三角形的高？定义如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.ABC012345678910012345012345012345678910012345678910012345012345012345012345D垂直符号垂足想一想由三角形的高你能得到什么结论？∠ADB=∠ADC=90°ABCDEFABCDABCDEFO(E,F)O画一画如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？知识要点三角形的高三角形一个定点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高.三角形的三条高交于一点.（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；（2）直角三角形的高交于直角的顶点；（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.例2如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)=180°－90°－40°=50°.∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，∴∠CAE=∠BAC=41°，∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=9°.ABCDE当堂练习2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCDABCDBD3.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误.ABCDE12FGH①AD是△ABE的角平分线()②BE是△ABD边AD上的中线()③BE是△ABC边AC上的中线()④CH是△ACD边AD上的高()×××√4.如图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，BF是△EBD的角平分线，根据已知条件填空：1122132()∠∠；()；()∠∠∠.ADB==BE==DBF==ADC90AEABEBFDBE如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm，∠CAB=90°,试求：（1）△ABE的面积；（2）△ACE和△ABE的周长的差.ABCDE解：（1）11,226810,ABCSABACBCADAD即AD=4.8.211,221154.812(cm)22ABCABESABACBCADSBEAD（2）∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE.∴△ACE和△ABE的周长的差=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)=AC+AE+CE-AB-AE-BE=AC-AB=8-6=2(cm)重要发现三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的差.ABCDE课堂小结三角形中几条重要线段会把原三角形面积平分一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差中线角平分线高三角形的角平分线是一条线段