第三章复变函数的积分

25第10讲复变函数的积分第三章复变函数的积分p69§3.1复变函数积分的概念教学目的：1、理解关于复积分的定义；2、掌握复积分的计算方法、熟悉复积分的基本性质；3、注意复积分中值定理与实积分定理的区别；教学重点：复积分的计算方法、熟悉复积分的基本性质；教学难点：复积分中值定理与实积分定理的区别；教学方法：启发式；教学手段：讲解与板书相结合教材分析：复积分是研究解析函数的一个重要工具。但复积分仍是作为一种和的极限来定义的，它的许多性质与实积分既有相同的地方也有不同的地方，因此，学习时需要加以注意。§3.1复变函数积分的概念1.有向曲线2.积分的定义3.积分存在的条件及其计算法4.积分性质1.有向曲线：0)]('[)]('[],,[)(')('),()()(:22tytxCtytxttyytxxC且、设)1()()()()(:ttiytxtzC0)(')('tztz连续且，.平面上的一条光滑曲线zC光滑或分段光滑曲线约定C:，).(因而可求长:的方向规定C,,,:为正若终点指定起点开曲线baba;,Cab记作为负则左边。的内部一直在观察者的前进一周观察者顺此方向沿正方向闭曲线CC,:2.积分的定义：Dzzfw)()1(设；.)2(的一条光滑有向曲线点内点为区域BADCBzzzAnABn,,,:)3(10个小弧段任意分划成将⌒；kkkkkzfzz)()4(1作乘积⌒}{max,,,)()5(1111knkkkkkkknkkknSzzSzzzzfS的长度为记作和式⌒)2()(lim1)(0Izfnkkkn若如何取无论如何分割iC,，CdzzfBACzf)(,)()(记作的积分从沿曲线为则称)3()(lim)(.,.1nkkknCzfdzzfei取极限求和取乘积分割说明CdzzfC)()1(记作若闭曲线baCdttudzzftuzfbatC)()(),()(],,[:)2(则关。的形状和还不仅因为一般不能写成存在如果方向有与曲线有关,与.,CbadzzfdzzfdzzfCbaC,)()()()3(CA(起点)B(终点)CCABD262,,,)1(22abzdzabdzbaCCC则的任一曲线表示连接点若特例：0,0,)2(CCzdzdzC则表示闭曲线若3.3积分存在的条件及其计算法定理CdzzfCzfCyxivyxuzf.)(,)(,),(),()(存在即可积必沿上连续时在光滑曲线当CCCudyvdxivdyudxdzzf)(且Cidydxivu))((记忆（4）.)(积分来计算数的可通过二个二元实变函这个定理表明第二型曲线Cdzzf一定存在。是光滑曲线时，函数是：当推论cdzzfCzf)(,)(1连续数的线积分来计算。可以通过两个二元实函：推论cdzzf)(2:)()()(:ttiytxtzzC设光滑曲线由曲线积分的计算法得)()()()()}('))()(()('))(),(({)}('))(),(()('))(),(({)(终起终起dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudzzfCdttiytxtytxvitytxu))(')(')]]}((),([[)](),([{dttztzf)(')]([)6()(')]([)(dttztzfdzzfC4.积分性质由积分定义得：CCdzzfdzzf)()()1CCdzzfkdzzkf)()()2CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()]()([)3nCCCCndzzfdzzfCCCC)()()()42121分段光滑曲线.)()()()(,)5估值定理上满足在函数的长度为设MLdszfdzzfMzfCzfLCCC例1)10(43:ttytxOAzdzC计算解10)43()43(dtitizdzC2102)43(21)43(itdti又解CCidydxiyxzdz))((CCxdyydxiydyxdx27,,无关右边两个积分都与路径容易验证2)43(21)(:idzzfCOAC，其上积分的曲线连接例2.,,)(010为整数为半径的正向圆周为中心表示以这里计算nrzCzzdzCn解20:0irezzCCnzzdz10)(20)1(1derirenini00)sin(cos02202020ndninrinididerininnCnzzdz10)(rzznzzdz010)(0002nni.,0应记住,这个结果以后经常用到无关及这个结果与半径zr例3)()2;)1:3201见图的值计算CCCOzCCdzzC解10)1(:)11ttizC12)1)((1010tdtdtiittdzzC101:10:)232titzCttzC32CCCdzzdzzdzz)21(21)1(1010iidtittdt例4.1;,1,,2121向的下半圆周，逆时针方是单位圆顺时针方向的上半圆周是单位圆其中的值计算zCzCdzzdzzCC解.0,:)11iezCidtidieedzziiC001.0,:)22iezCidtidieedzziiC002作业p99,1,2,irezz0Aoxyz0zrCAoxyoxyiz101C2C3Coxy28第11讲§3.2Cauchy-Goursat基本定理教学目的：1、掌握柯西积分定理以及其等价形式；2、理解柯西积分定理的推广形式；教学重点：柯西积分定理以及其等价形式；教学难点：柯西积分定理以及其等价形式；教材分析：复积分是研究解析函数的一个重要工具。但柯西积分定理是整个复变函数论的基础。一、分析§1的积分例子:的积分值相同，任意它沿连接起点及终点的在全平面解析中例Czzf,)(1dzzfdzzfdzzfBACC)()()(＝与路径无关，即即，，即不解析的点为奇点中例,0212000zzidzzzrzz解析。的非单连通区域内处处但在除去0,zz.,)(3有关的值与积分路径在复平面上处处不解析中例CdzzzzfC由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。先将条件加强些，作初步的探讨二、Cauchy定理)(',)(内连续在且内处处解析在单连通设DzfDivuzfyyxxiuvivuzf)('CCcudyvdxivdyudxdzzfDC)(,，又yxyxyxyxuvvuRCDvvuuvu方程并满足内都是连续的在以及它们的偏导数和,,,,DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(,0)(公式由cdzzf0)(0)()(1825cdzzfCDzfDCauchy的积分内沿任一条闭曲线在内处处解析的单连通区域给出了年—Cauchy定理.,)('内连续且在存在当时解析的定义为Dzf，.1851定理的上述简单证明给出了年CauchyRiemann.)(',1900这一条件去掉了连续且将定理的新证明给出了年zfCauchyGoursat)(':,内存在在改为从此解析函数的定义修定理这就产生了著名的DzfGoursatCauchyCauchy-Goursat基本定理：—也称Cauchy定理.0)(,)(CdzzfBCBzzf内任一条闭曲线为内解析平面上单连通区域在设.,)(,)1(定理仍成立上解析在的边界为若BCBzfBCCc1c2BL1L2L3GHBCCC29定理仍成立.连续,在内解析在的边界为若上BCBzfBzfBC)(,)(,)2((3)定理中曲线C不必是简单的！如图。推论设zf在单连通区域B内解析，则对任意两点0z,Bz1,积分Cdzzf不依赖于连接起点0z与终点1z的曲线，即积分与路径无关。1021)()()(zzCCdzzfdzzfdzzf见上图§3.3基本定理推广—复合闭路定理复合闭路定理：,.21DBCCCCBn且域所围成的有界多连通区是由设①)2()()(),1(,0)(:,)(1niccidzzfdzzfdzzfDzf或则内解析在②.,),(,,,:21顺时针是逆时针及每一条曲线互不包含也不相交的内部的简单闭曲线是在闭其中iinCCCCCCCDC证明：21CCC设221121)()(LLLLcccdzzfdzzf0)()(''''''HAFFEEAAAEAFEAGFdzzfdzzfidzzzzCC2100有：在内的正向简单闭曲线包含如：对任意说明：kkCCCCCC21:,,)1(三者之间的关系.,:,)2(按顺时针方向按逆时针方向的特点与曲线的正向kkCCCCkkcccccccdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()()(0)3(121kcccdzzfdzzfdzzf)()()(1，1)()(ccdzzfdzzf此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.—闭路变形原理例：.1:122曲线在内的任意正向简单闭包含圆周计算zdzzzz解：2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原式iiidzzdzzCC42211112)01,011(21CCdzzdzz练习.1:12曲线在内的任意正向简单闭包含圆周计算zdzzz解：2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原式02211112iidzzdzzCC)01,011(21CCdzzdzz作业P99，4，5,7(1)(2)30第12讲§3.4原函数与不定积分p80教学目的：理解原函数与不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的性质和计算，充分掌握柯西积分公式以及其解析函数的平均值定理；教学重点、难点：柯西积分公式；教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。1.原函数与不定积分的概念由§2基本定理的推论知：设zf在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分Cdzzf与路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在0z,终点z在B内变动,Cdzzf在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作zzdfzF0)1()()(定理设zf在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且)()('zfzF定义若函数(z)在区域B内的导数等于zf，即,称(z)为zf在B内的原函数.上面定理表明zzdfzF0)()(是zf的一个原函数。设)()(zHzG与是zf的任何两个原函数，)(,)()(0)()()(')(')]'()([为任意常数cczHzGzfzfzHzGzHzG(见第二章§2例3)这表明：zf的任何两个原函数相差一个常数。定义设F(z)是zf的一个原函数，称F(