19.2.3一次函数与方程、不等式、方程组

(1)解方程2x+20=0(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？解：(1)2x+20=0220x10x(2)当y=0时，即2200x220x10x从“数”上看两个问题实际上是同一个问题．（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标.思考：直线y=2x+20的图象与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2χ＋20＝0的解是x=_____从“形”上看0xy20－10y=2x+20-100－10观察下面这几个方程：思考：这3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？这3个方程与函数y=2x+1有什么关系？（1）2x+1=3（2）2x+1=0（3）2x+1=-1求2x+1=3的解当y=3时，求函数y=2x+1的自变量x的值在y=2x+1的图像上确定当y=3时对应的横坐标x由数到形由形到数32121-2Oxy-1-132x+1=-1的解1、0.5、-1y=2x+12x+1=3y=2x+12x+1=0的解x=1而这三个方程的解则分别对应着此时自变量的值，即图象上A，B，C三点的横坐标．上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的函数值分别为3，0，-1时，求自变量x的值。序号一元一次方程问题一次函数问题1解方程3x-2=0当x为何值时，的值为0?2解方程-7x+2=0当x为何值时，的值为0?3解方程8x-3=2当x为何值时，的值为0?y=3x-2y=-7x+2y=8x-5解一元一次方程ax+b=0(a，b为常数)可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值。一元一次方程都可以转化为_________的形式.kx+b=00求直线y=kx+b与的交点的坐标.x轴横当一次函数y=kx+b的值为时，求相应的的值.求方程kx+b=0的解自变量x求ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解．x为何值时函数y=ax+b的值为0．从“数”上看求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标．从“形”上看例1一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？（要求用两种方法解题）解得x=6．(6,0)由图看出直线与x轴的交点为（6，0），得x=6．解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒．列方程2x+5=17．解法2：速度y(m/s)是时间x(s)的函数y=2x+5由2x+5=17得2x−12=0．yxo-126y=2x-12画出y=2x−12的图象2．利用函数图象解出x:5x−1=2x+5由图看出直线y=3x−6与x轴的交点为（２，0），得x=２．2-60xy练习：根据函数y=2x+20的图象，说出它与x轴的交点坐标；说出方程2x+20＝0的解0xy20-10y=2x+20直线y=2x+20与x轴的交点坐标为(-10，0）x=-101、直线y=x+3与x轴的交点坐标为，所以相应的方程x+3=0的解是.x=－3（－3，0）由5x−1=2x+5，得3x−6=0．y=3x−6画出y=3x−6的图象根据图象,请写出图象所对应的一元一次方程的解.y=5x0xyy=x+2-20xy3y=x-3x0y20xyy=-2.5x+5x=0x=-2x=2x=352、通过下列函数图像直接观察出方程的解是多少？3x0yy=2x+32x+3=3，x=.-2x-4=2，x=.1、解方程2x+3=5就是求当y=时函数y=2x+3的自变量x的取值。y=-2x-42-3x0y0-3观察下面这几个不等式:（1）2x+22（2）2x+20（3）2x+2-1思考：这3个不等式有什么相同点和不同点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？这3个不等式与函数y=2x+2有什么关系？求2x+22的解求2x+20的解求2x+2-1的解当y2时，求函数y=2x+2的自变量x的值当y0时，求函数y=2x+2的自变量x的值当y-1时，求函数y=2x+2的自变量x的值在y=2x+2的图像上确定当y2时对应的x的范围在y=2x+2的图像上确定当y0时对应的x的范围在y=2x+2的图像上确定当y-1时对应的x的范围由数到形由形到数32121-2Oxy-1-13y=2x+22x+22y=2x+22x+20y=2x+22x+2-1y=2x+2答案：x0答案：x-1答案：x32三个不等式的左边都是代数式，而右边分别是2，0，-1．它们可以分别看成一次函数的函数值大于2、小于0、小于-1时自变量x的取值范围。我们知道，一次函数的图象是一条直线。作出一次函数y=2x-5的图象(2.5,0)观察图象回答下列问题:(1)x取哪些值时,y=0?(3)x取哪些值时,y0?(4)x取哪些值时,y3?思考能否将上述“关于函数值的问题”,改为“关于x的不等式的问题”？0x123-141-1-23-4-32-5-6y(2)x取哪些值时,y0?因为y=2x–5，所以，将(1)～(4)中的y换成2x-52x-52x-52x-52x-525x25x25x4x1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，(2,0)(0,-6)y=3x-62.已知函数y=3x-6，当自变量x时，直线AB的函数解析式为y=3x-6当自变量x时，当自变量x时，当自变量x时，当自变量x时，y=0；3x-6=0；=222003x-60；y0；y0；3x-60；y-6；3x-6-6；y-6；3x-6-6；01234-1-1-2-2-3-3-4-5-6-7123XyAB从数的角度看求ax+b＞0(a≠0)的解x为何值时y=ax+b的值大于0从形的角度看求ax+b＞0(a≠0)的解确定直线y=ax+b在x轴上方的图象所对应的x的取值范围练习：根据图象来解决:2x－40yx-420y=2x-4通过图象可以看出，x＞21、直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是，不等式-3x-30的解集是。xoy-1y=-3x-3x-12、直线y=mx+n与x轴的交点坐标是(2，0)不等式mx+n0的解集是。yxo2y=mx+nx2（-1,0）探究：解：(1)把5x+63x+10转化为2x-40，解得x21.解不等式：5x+63x+102.我们如何用函数图象来解:5x+63x+10解：化简得2x-40，画出直线y=2x-4,可以看出，当x＞2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-40。所以2x-40的解集为x＞2即5x+63x+10的解集为x＞2xoy2y=2x-4-4从实践中得出，由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0（a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大于0（或小于0）时，求自变量相应的取值范围。练习：利用y=的图像，直接写出：525xy=x+525的解方程0525)1(x的解集不等式0525)2(x的解不等式0525)3(x的解集不等式5525)4(xX=2X2X2X0(即y=0)(即y0)(即y0)(即y5)y25x0例根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集-2xy=3x+6y(1)3x+60(2)3x+6≤0X-2X≤-2(即y0)(即y≤0)1、如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是.2-1BA0Xyx＜2已知一次函数y=kx+b的图象如图，当x1时，y的取值范围是（）2.yA2.yB1.yC1.yDA120xy2．函数y＝2x＋3的图象如图，根据图象回答：(1)x取什么值时，函数值y等于0?(2)x取什么值时，函数值y大于0?(3)x取什么值时，函数的图象在x轴下方？直线y1=k1+b直线y2=k2x在同一直角坐标系的图象如图所示，若y1y2,则（）A1xB1xC2xD无法确定0x12345-4-3-2-1y31425-2-4-1-3找交点划区域定范围定界线X=-1y1=k1+by2=k2xB3、当x时，直线y=-x+2上的点在x轴的下方。2x14、直线y=-x+m和y=2x+n的交点如图，则不等式-x+m2x+n的解集是。y21xoy1=-x+my2=2x+n22x0y3.解不等式：5x+4＜2x+10（1）解：原不等式化为：3x-60得：x2（2）解：不等式化为3x-6＜0画出函数y=3x-6的图像由图像可以看出：01234-1-1-2-2-3-3-4-5-6-7123Xyy=3x-6不等式的解集为x＜2（3）解：把5x+4＜2x+10看做两个一次函数y=5x+4和y=2x+10,画出y=5x+4和y=2x+10的图像.由图像可以看出：xy010-542y=2x+10y=5x+4不等式的解集为x＜21.对于方程3x+5y=8如何用x表示y?y=.是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢？3855x382.5558yxxyxyxy画出一次函数的图象，并在直线上任取一点（,），则,一定是方程3的解吗？为什么？归纳：二元一次方程与一次函数的关系1.每个二元一次方程都对应着一个一次函数，也对应一条直线；2.直线上的每个点的坐标都是对应的二元一次方程的解问题3h1h2气球1海拔高度：y=x+5；气球2海拔高度：y=0.5x+15．1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升．两个气球都上升了1h．(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y（m）与气球上升时间x（min）的函数关系．(0≤x≤60)(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？解方程组y=x+5y=0.5x+15在某时刻两个气球位于同一高度就是求自变量x为何值时，两个一次函数y=x+5，y=0.5x+15的函数值相等，并求出函数值．解得x=20y=25二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点的横纵坐标．A（20，25）我们也可以用一次函数的图象来解答O1020155x30252015105y52yx1yx图象法解方程组：12yx解得：(2,1)对应关系:二元一次方程组的解两个一次函数图象交点坐标(1)转化(2)画图(3)找交点画出两个函数图象交点坐标为（2，1）152xyxy即:yx0112转化为y=ax+b的形式y=-2x+5y=-2x+5图象法解二元一次方程组的一般步骤:⑴把两个方程化为一次函数y=kx+b的形式；⑵再把它们的图象画在同一直角坐标系中；⑶确定两直线交点的坐标.从数的角度看：从形的角度看：求二元一次方程组的解x为何值时，两个函数的值相等求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标一次函数与二元一次方程组利用图象法求方程6x-3=x+2的解解法一：将方程变形为5x-5=0画y=5x-5的图象x0y1-5y=5x-5由图象可知：直线y=5x-5与x轴的交点为(1,0)x=1解法二：分别画函数y=6x-3和y=x+2的图像由图像可知：直线y=6x-3与y=x+2的交点为(1,3)3xy10x=1y=6x-3y=x+2练习巩固1.已知一次函数y=3x+5与y=2x+b的图象交点为(-1，2)，则方程组的解是_______,352yxyxb，B2．已知二元一次方程x＋y＝3与3x－y＝5有一组公共解x2y1那么一次函数y＝3－x与y＝3x－5的图象的交点坐标为（）A．(1,2)B．(2,1)C．(－1,2)D．(－2,1)yaxbykx3.如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是.x=-1y=2x=-4y=-2例3一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月租费20元外