第二单元----灰色预测模型GM

第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–1第二单元灰色预测模型GM(1,1)§1预备知识平面上有数据序列nnyxyxyx,,,,,,2211，大致分布在一条直线上。设回归直线为：baxy，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和niiibaxyJ12最小。J是关于a,b的二元函数。由0120211niiiiniiiiibxaybJxbxayaJ00112niiiniiiiibaybxaxyx则得使J取极小的必要条件为：iiiiniiiynbxayxxbxa12（*）22222iiiiiiiiiiiiixxnyxxxybxxnyxyxna(1)以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际观测数据ix、iy去表示a与b，使得误差平方和J取最小值，即从近似方程bbbxxxayyynn2121中形式上解出a与b。把上式写成矩阵方程。令nyyyY21，baxxxYn11121yixxiiyx,jjyx,第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–2令11121nxxxB，则baBY左乘TB得baBBYBTT注意到BTB是二阶方阵，且其行列式不为零，故其逆阵(BTB)-1存在，所以上式左乘1BBT得YBBBbaTT1（2）可以具体验算按最小二乘法求得的结果（1）与（2）式完全相同，下面把两种算法统一一下：由最小二乘得结果：方程（*）iiiiniiiynbxayxxbxa12方程组改写为：nniiiyyyxxxbanxxx21212111令：11121nxxxB，nyyyY21，baaˆ（*）化为YBaBBTTˆ所以YBBBaTT1ˆ以后，只要数据列njyxjj,,2,1,大致成直线，既有近似表达式nibaxyii,,2,1当令：nyyyY21，11121nxxxB，baaˆ则有aBYˆyBBBaTT1ˆ（2）第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–3（2）式就是最小二乘结果，即按最小二乘法求出的回归直线baxy的回归系数a与b。推广：多元线性回归设有m个变量mxxx,,,21，每个自变量有n个值，因变量y有n个值mnmnnnmmmmxbxbxbayxbxbxbayxbxbxbayn2211222212121212111121（1）如n个人，每人有m个指标。女生：人：1x（体重）公斤2x（胸围）厘米3x（呼吸差）厘米ky（肺活量）毫升111x=3521x=6931x=0.71600212x=4022x=7432x=2.52600313x=4023x=6433x=2.02100414x=4224x=7434x=32650515x=3725x=7235x=1012400616x=4526x=6836x=1052200717x=4327x=7837x=4032750818x=3728x=6638x=21600919x=4429x=7039x=30227501010x=4220x=6530x=32500方程组（1）是n个方程m个数据mmnnnmmbbbaxxxxxxxxxY21212221211211111用X表示增广矩阵：n行，m+1列baXYˆ，mbbbb21ˆ，baXXYXTTˆYXXXbaTT1ˆ其中XXT为11mm阶矩阵。由此可解出：mbbba,,,,21注意：方程组中mbbba,,,,21不知，意思是：如果线性关系成立mmxbxbxbay2211第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–4当mbbba,,,,21为多少时，iy到mmxbxbxba2211的距离之和为最小。或说，当所有iy到(mmxbxbxba2211)距离之和为最小时的mbbba,,,,21就是我们要求的最佳系数。§2前言为什么要讲GM(1,1)模型？80年代初，华中理工大学邓聚龙教授提出了灰色系统理论，先后发表过灰色控制、灰色预测、灰色决策、灰色系统理论等多部专著，较详细在阐述了灰色系统理论的产生、理论、方法与应用。在80年代中后期到90年代初，举行了十数次国际、国内有关灰色系统理论的研讨会，在全国形成一股灰色系统理论研究与应用热潮。邓聚龙先生因灰色系统理论方面的供献，获得国家科技进步一等奖。什么叫灰？用邓先生自己的话来讲：“完全已知的系统称作白系统；完全未知的系统称作黑系统或黑箱；部分已知、部分未知的系统称作灰色系统。”在此，已知或未知到什么程度没有具体说明。所以，“灰”的内涵不是很清楚。举个例子讲，已知某量的真值x在闭区间[a,b]上，不可能落在[a,b]之外，但具体落到区间[a,b]的什么位置则是完全不知道的。那么，这个量称作灰量，可具体表示为[a,b]，称其为区间灰数。显然，区间灰数是客观实际中存在的，除了知道真值x在[a,b]上，而不在[a,b]之外，不再有任何已知信息，这就是灰量的最基本原型。由于灰色系统理论从一开始就没有建立在严格的集合论基础之上，使之缺乏必要的数学支撑，这大大限制了灰色系统理论和应用的发展。虽然灰色系统理论在控制、预测、决策等领域有着广泛的应用；但就其精华而言，还在于GM(1,1)模型。即便是现在，在特定情况下，GM(1,1)还有用，还在被应用，并且预测效果很好。其使用限制条件是：原始数据单调，预测背景呈现稳定发展趋势；其优势是：适用于原始观测数据较少的预测问题，由于数据量很小，无法应用概率统计方法寻找统计规律，而GM(1,1)模型恰恰弥补了这个空白，由于GM(1,1)算法简单易行，预测精度相对较高，所以在一些特定问题中，GM(1,1)仍然是决策者乐于选择的预测模型。上面讲到的背景稳定的发展趋势是指下述情况：如化工设备的腐蚀量，随着使用时间的推移腐蚀不断增加，呈现出稳定的发展趋势，并且腐蚀量的测量通常比较困难(如停产才能测量)，所以实际观测数据较少。这类问题很适合GM(1,1)模型预测。§3GM(1,1)预备知识(二)3.1回忆一阶线性常系数微分方程uaxdtdx(1)其解为：aueauxxat)0((2)其中a，u为给定的常数。~第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–5一阶线性常系数微分方程(1)的解(2)是指数型曲线，如下图所示atex图象ateauxx0图象aueauxxat0图象3.2在预备知识中，讲述了最小二乘法：若数据点)(iiyx，ni,,2,1近似落在一条直线上，设这条直线为y＝ax+b，a,b为参数。理想的直线要求：每个数据点)(iiyx，ni,,2,1，到该直线的距离平方和最小――即最小二乘。用最小二乘法求出参数a与b，这相当于形式上的解线性方程组：baxyiini,,2,1(3)当令nyyyy21，11121nxxxB，baaˆ则（3）化为aBYˆ，aBBYBTTˆYBBBaTT1ˆ（4）由此求出abaˆ，可得回归直线baxy（5）上述形式上的求解结果，本质上是用最小二乘法求解回归参数的过程，故有下面结论。结论：一组数据点（n个），且近似线性关系baxyii则下述表达式可求出回归系数a与b。nnTTyyyYxxxBYBBBba21211111，：10txa0a0x(0)–u/a0txa0a0x(0)0txa0a0第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–6上述形式上的计算，本质是使点),(iiyx到直线y＝ax＋b的距离平方和最小，即是最小二乘法得来的结果。§4GM(1，1)模型G表示Grey(灰)，M表示Model(模型)，前一个“1”表示一阶，后一个“1”表示一个变量，GM(1,1)则是一阶，一个变量的微分方程模型。给定等时间间隔的数据列，且设数据列单调：),n(),2(),1()(,n21xxxkxk，k表示时刻，kxkx＝)(表示t＝k时刻某量的观测值，不妨设1kkxx，1,,2,1nk，将数据列记成：0n030201)0(,,xxxxx)0(x表示原始数据序列。比如：697.3,390.3,337.3,278.3,874.2)0(x。对原始数据作一次累加生成：即令nkxxkiik,,2,11)0()1(得一次累加生成数序列为：)1()1(21(1)1(,,,nxxxx）在此，)1(kx={2.874,6.152,9.489,12.879,16.558}给定的原始数据序列)0(kx已经是单增序列，经一次累加后生成的累加数序列具有更强烈的单调性。我们知道指数序列是单调的，但是，单调序列却不一定是指数型的，不过强烈的单调序列可近似看做是指数的，即可用指数型曲线进行弥合。如果用指数曲线来弥合一次累加生成序列，那么，这条指数曲线一定是某个一阶线性常系数微分方程uaxdtdx)1()1((6)的满足某个初始条件的一条积分曲线：aueauxxat)1()1()1(即aueauxxat)1()0()1(（7）第二单元灰色预测模型GM（1,1）2–7其中a，u是待确定的未知参数，该微分方程中的导数dtdx)1(可用差商近似表示。tkxtkxdtdxt)1()1(0)1(limt为时间间隔，将时间间隔t看做是单位时间间隔，并且认为时间被充分细化(秒，毫秒。微秒……事实上只要单位时间内函数的增量相对很小，这个单位时间间隔也可以是日，月，年等。)此时有kxkxdtdx)1()1()1(1注意到一次累加生成数)()1(tx在时刻t＝k＋1与t＝k时的差为：11)0()1()1(kxkxkx而)1(dtdx是在[k,k＋1]上某一点取值，既然是近似，索性将dtdx)1(的值取在点k+1，即11)0()1()1(1)1(kxkxkxdtdxkt于是，一阶线性常系数微分方程uaxdtdx)1()1(可近似化为：11)1()0(ktkutaxkx注意到函数)1(x(t)在区间[k,k+1]上取值，当以中值近似时有：121)1()1()1(kxkxtx则微分方程近似转化为：1)0(kxukxkxa121)1()1(这是一个关于参数a与u的线性近似表达式。与数据点iiyx,近似满足baxyii比较知，按最小二乘原理，线性回归系