数学建模案例分析--灰色系统方法建模3灰色模型GM1-N及其应用

§3灰色模型GM(1,N)及其应用客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型。建模的实质是建立微分方程的系数。设有个数列NinXXXXiiii,,2,1))(,),2(),1(()0()0()0()0(对)0(iX做累加生成，得到生成数列NinXnXXXXmXmXXXiiiiinmimiii,,2,1))()1(,),2()1(),1(())(,,)(),1(()0()1()0()1()1(1)0(21)0()0()1(我们将数列)1(iX的时刻nk,,2,1看作连续的变量，而将数列)1(iX转而看成时间的函数)()1()1(tXXii。如果数列)1()1(3)1(2,,,NXXX对)1(1X的变化率产生影响，则可建立白化式微分方程)1(1)1(32)1(21)1(1)1(1NNXbXbXbaXdtdX（1）这个微分方程模型记为GM（1,N）。方程（1）的参数列记为TNbbba),,,(121，再设TNnXXXY))(,),3(),2(()0(1)0(1)0(1，将方程（1）按差分法离散，可得到线性方程组，形如ˆBYN（2）按照最小二乘法，有NTTYBBB1)(ˆ（3）其中，利用两点滑动平均的思想，最终可得矩阵)()())()1((21)3()3())3()2((21)2()2())2()1((21)1()1(2)1(1)1(1)1()1(2)1(1)1(1)1()1(2)1(1)1(1nXnXnXnXXXXXXXXXBNNN求出后，微分方程（1）便确定了。若Nn1，则方程组（2）的方程个数少于未知数的个数，此时，BBT是奇异矩阵，我们无法利用（3）式得到，我们称这时的信息为贫信息。考虑到向量的元素实际上是各子因素对母因素影响大小的反映，因此，引入矩阵对T做加权极小化。对未来发展趋势减弱的子因素加以较大的权，对有发展潜力的子因素加以较小的权，这样做可把未来的可能情形也考虑进来，使之更好地反映未来的实际情况。具体地，令),,,(21NdiagM其中，若对的影响有减弱的趋势，则相应较大；反之，若对的影响有增加的趋势，则相应较小。此时，计算向量可采用下面的公式NTTYBBMBM111)(ˆ（4）下表为某地区1981—1985年各项指标的统计数据。年度19811982198319841985工业总产值13101333656373905153165231发电量21712817735172271863220343未来受教育职工31074812213138531519617979物耗41786519549215842934936117技术水平50.9680.9850.9451.0911.183滞销积累量62086522834264402857333588待业人数71514916247202263145934603由于本问题的未知数有7个，而,5,4,3,2,1i故不能按式（3）建立GM（1,7）模型，而必须按贫信息方法（4）式估计。按这种方法最终得到GM（1,7）模型（过程略）为)1(72)1(6)1(55)1(4)1(3)1(2)1(1)1(1105.808.2106.35.291.046.266.0XXXXXXXdtdX从上式易知，2、4前的系数大，表明发电量和物耗对系统影响大；3、6是阻碍系统发展的因素；5、7无论是阻碍还是促进系统的发展，其作用皆不明显。