练习106(三重积分的计算(截面法和求体积))--答案

练习册106三重积分的计算（截面法和求体积）（答案）1、计算zdv，其中积分区域是由平面0hhz和锥面0,022hRyxRhz围成的闭区域。解：画出积分区域（如右图所示），222,,,0,,zhRyxyxDyxhzzyxz，22042202220414hRzhRdzzhRzdxdyzdzzdvhhDhz。2、计算zdv，其中积分区域是由曲面4222zyx和zyx322围成的闭区域。解：联立方程4222zyx和zyx322，求解得1z。画出积分区域，并用平面1z把分成两部分1和2（如右图所示），222114,,,21,,zyxyxDyxzzyxz，zyxyxDyxzzyxz3,,,10,,2222，2121021104312dzzzdzzzdxdyzdzdxdyzdzzdvzzDD413422142103zzz。3、计算由曲面22yxz和zyx22所围立体的体积。解：联立方程4222zyx和zyx322，求解得0z和1z。（方法1：利用定积分）因为当10z时，截面面积2zzS，所以，立体的体积610210dzzzdzzSV。（方法2：利用二重积分）设所围立体在xoy平面内的投影记为xyD，因为10,20,rrDxy，所以，立体的体积xyDdxdyyxyxV222210220rdrrrd6。（方法3：利用三重积分）zyxzyxDyxzzyxz222,,,10,,，所以，立体的体积611021010dzzzdzzSdxdydzdvVZD。4、求球体2222Rzyx和Rzzyx2222公共部分的体积。解：联立方程2222Rzyx和Rzzyx2222，求解得2Rz。（方法1：利用定积分）因为当20Rz时，截面面积22zRzzS，当RzR2时，截面面积22zRzS，所以，公共部分的体积RRRRdzzSdzzSdzzSV2200RRRdzzRdzzRz22220222443224233333RRRRR3125R。（方法2：利用二重积分）设所围立体在xoy平面内的投影记为xyD（如右图所示）。因为RrrDxy230,20,，所以，公共部分的体积xyDdxdyyxRRyxRV222222RrdrRrRd23022202202302222RRrdrRdrrRr32302230232212522322RrRrRRR。（方法3：利用三重积分）记公共部分为，在平面2Rz以下的部分记作1，在平面2Rz以下的部分记作2（如图所示）。222112,,,20,,RRzyxyxDyxRzzyxz，222221,,,2,,zRyxyxDyxRzRzyxz所以，公共部分的体积zzDRRDRdxdydzdxdydzdvV21220RRRdzzRdzzRz22220222443224233333RRRRR3125R。