初中数学竞赛代数部分

初中数学竞赛题选讲（代数部分）数学组内容主要分为四部分：•代数式的求值问题•方程与方程组的求解问题及其应用•一元一次不等式（组）及二元一次不等式（组）的求解及应用•二次函数问题•关于整式的求值问题•关于分式的求值•二次根式代数式的求值的相关考点：•一、一元一次方程与多元一次方程组；•二、一元二次方程；•三、可化为一元二次方程的方程；•四、列方程组解应用题。方程与方程组相关考点：不等式（组）的考点：1.考察不等式组的解法2.不等式组的整数解问题3.不等式中字母范围的确定4.带绝对值的不等式解答5.利用不等式解决实际问题二次函数考点：1、二次函数的性质2、二次函数的表达式3、二次函数与一元二次方程的关系4、根与系数的关系有关知识拓展：整式：1、高次二项式的变形：yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx333344773326622223355233accbbacabcabcba222222212、的变形：cabcabcba2223、的变形：4、公式：5、带余除：baabbababababa332233ba33cba2cabcabcbacba22222若关于x的多项式A与B相除，商式为f(x),余式为Q(x),则A=f(x)B+Q(x)分式：运算法则：二次根式：是无理数）是有理数，则若，则若、、、cbababbaacbacbabacbaaa''','''0,00(,2为正整数）乘方：除法：乘法：加减法：nbcaddcbabdacdcbabdbcaddcbacbacbcababannn(;;;;代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．一、灵活运用乘法公式和运算法则代数式的变形化简，离不开乘法公式、各种运算法则及它们的变形用法。有些条件求值问题，条件与结论间存在明显的结构联系。利用乘法公式或适合的运算性质就能解。的值。求且若例nmnnmmnm5522,,,11111432012223355223322221,1nmmnnmnmnmnmnmnmnmmnnmnmxxmnnmnm的两个不相等的根。是方程、由已知条件得解：二、设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．的值。，求已知例czbyaxzcybxaczbyax2222220,12czbyax2222221czbyax分析：若从求的值入手，可考虑到应把条件两边平方，在平方之后，虽然会出现一些交叉项，但能从另一个已知条件给予解决。采用换元法求解。1112222222222222.0,0.0111,1,,,czbyaxwvuwuvwuvwvuwuvwuvuvwwuvwuvwvuwvuwczvbyuax即所以把①两边平方得所以由②有②①于是条件变为令解：三、将已知条件整体代入求值（整体法）例3已知，那么0123xxxxxxx1995321分析：共有1996项，将每四项分成一组，共499组，每组中都有因式，因此结果为0.xxxx19953210123xxx（第八届“祖冲之”杯竞赛试题）xxxx1995321解：方法一：01111321992324321995199419931992765432xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx方法二：（这道题也可以从已知条件入手）。，结果为个个，共奇次方为，的偶次方为中，当时，01989,199811,219953222311101011,01xxxxxxxxxxxxxx例4若a、b都是正实数，且，则（1992年全国联赛试题）0111bababaab33babababa111,0111得解：由1.111,1baabbaabbbaaba52355354233225baabbaabbaabbaabbaabbaabba是正实数，、例5已知,,,7133493322byaxbyaxbyax的值。试求baxyyxbyax21761995,40644分析：如果把所给的条件看成是方程组，那么它是四元五次方程组，要求解这样的高次方程组是无能为力的。观察待求值的多项式，它是关于x=y、xy、a+b的多项式，如果能通过已知条件的变形，求出x+y、xy、a+b，问题就解决了。或者构造出关于x+y、xy、a+b,且易求解的方程组，问题也解决了。四、构造方程的求解②即得由同样的①得解：由197133749749494949494949777.,..,.,,.,.7,7,73323232222222222xyyxxyyxbyaxbyaxxyyxbyaxayxybybxyxaxaxbybyaxbyaxxybayxbyaxaxyybybxyxaxaxbybyaxbyax4800212175.165.2199521761995.21495.15.27.5.1,5.2.,.22.,.,,58719406491334913313313313313313322443434333333baxyyxbabaxyyxxyyxxyyxbyaxbyaxxyyxbyaxayxybybxyxaxaxbybyaxbyax将它们代入①，得得解②③组成的方程组，即得又由③215x03qpxx例6已知p、q是有理数，满足，则p+q的值是（）。（A）-1（B）1（C）-3（D）3（1997年安徽省竞赛试题）五、考虑数的性质若所给条件限制于整数、有理数，或涉及到质数，奇偶数，整除性等，把握住这方面的性质，有利于寻到突破口。02542021525,2150215215033pqpqpxqpqpxx得代入解：将。故选是有理数。、A.1.12.02042qpqppqpqp方程与方程组一、一元一次方程与多元一次方程组；二、一元二次方程；三、可化为一元二次方程的方程；四、列方程组解应用题。考点：1.解含绝对值的方程2.利用含字母系数的一次方程求字母的值；3.含字母一元二次方程的整数根；4.一元二次方程的根的相关问题；5.解高次方程；6.含字母无理方程的根的相关问题；7.方程（组）的实际应用；一、一元一次方程1.关于x的方程ax=b的解得情况：时，方程有唯一解；且时，方程有无穷多个解;且时，方程无解。2.关于x的方程的解得情况：时，；时，；时，方程无解。3.对于多元方程可以用消元法、参数法等；0aabx0a0b0b0a0aax0a0x0aax1.解方程组思路：两个方程消去x，可得：为了解y，需要去掉绝对值，所以需要明确绝对值里代数式的符号，即考虑y的范围，从而在每个范围中由式子解得y,从而解得x。2123yy13121yxyx2.已知关于x的方程，无论k为何值，总有根，求m,n的值。kkmxnmx2432x2x思路：方程总有根表示满足方程，将-2代入方程并化简，可得有关k的一次方程，又因“无论k为何值”都成立，所以有关k的方程为0k=0解：将x=-2代入方程并化简为：因为对任何k都成立所以：解得：648)243(nmkm06480243nmm2292nm二、一元二次方程1.利用判别式判断一元二次方程有无实根；2.韦达定理；3.解一元二次方程的方法：求根公式（通用）;因式分解、开平方法、配方法（据方程的自身特点）；4.有理系数一元二次方程有整数根（有理根）则有判别式为一个完全开平方数。1.是否存在正整数m，使关于x的方程有整数根，若存在，请求出m的值。012)4(22mxmmx时，方程有整数根。或为所以当方程有整数根，时，当，方程有整数根，时，当方程无整数根；时，当方程无整数根；时，当、、、的值可能是：是整数解得则：若方程无整数根；方程为：若，依题意得：解：若存在正整数432,,,0161644;30151433,0141222,01310143214,0)12(4)4(2,0,128,022222mxxxmxxxmxxmxxmmmmmmmmxmm解2：方程有整数根。或所以当同理）（和时，解得当都不符合题意；时，解得当或为整数根，则：为整数根或因即：则：令为一个开平方数又因方程有整数根，以则：同上；若若,438438,482,188,4,2,188,4,2,18,881,881,8881164),(,16641664,0,02121222msmmsmsssxxsxsxssxsmssmmmm2.已知方程，k为实数且，证明方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1。02322kxx0022kyy思路1：证方程有实根，即证：；证两根为α、β，α1，β1，即α-10，β-10从而利用韦达定理证（α-1）（β-1）0。思路2：直接将原方程转为，证两根之积小于0思路3：用图像法。解1（1）因所以方程有两个不相等的实根；（2）设方程的两根为α、β，则：即异号故：两根中有一个大于1，另一个小于1.解2:将原方程转化为由韦达定理得：新方程的两根异号，即原方程的两根一个大于1，另一个根小于101()1)(1(,2,322kk）04124922kk）（1,1022kyy0221kyy3.已知a,b,c为整数，满足c0，a+b=3,若关于x的方程的解只有一个，求d.222abcc0)(2dabxdcdx思路：可以将a,b作为关于x的方程的两根，根据判别式和c的范围来求出c的值；再根据原方程的判别式为零求出d.解：易知a,b是的两根，又，则：由c为正整数，则：c=1,2当c=1时，a,b无整数解；当c=2时，a=1,b=2或a=2,b=1从而原方程可化为当d=0时，x=-1;当d≠0时，方程有等根，则：综上所述：022322ccxx0)22(492cc01842cc02)2(2dxddx0)2(4)2(2