质点的振动方程

11简谐振动及其描述2简谐振动的动力学方程3简谐振动的能量4简谐振动的合成5阻尼振动受迫振动共振讨论课之五机械振动2基本要求教学基本内容、基本公式掌握简谐振动及其特征量（频率、周期、振幅和周相），掌握旋转矢量法。能熟练建立谐振动运动学方程。理解谐振动的能量。熟悉阻尼振动、受迫振动、共振。掌握同方向同频率谐振动的合成。了解同方向不同频率谐振动的合成，相互垂直的谐振动的合成。了解频谱分析。1.振动、简谐振动任何物理量在某值附近变化都称振动。简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。)cos(0tAx简谐振动的特征量（振幅、周期、频率和相位）振幅A周期T和频率2TT1相位)(0t初相位03xxmka20dd222xtx谐振动微分方程该方程的通解可写为：)cos(0tAxmk＝A和0由初始条件确定22020vxA000tanxv动力学分析：物体所受的力F跟位移x正比反向，物体作谐振动。,2xxmka,kxF物体的加速度跟位移正比反向，物体作谐振动。固有(圆)频率，由系统内在性质所决定。42.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例)动能)(sin21022tkAEk)(cos21022tkAEP势能系统总的机械能：221kAEEEpk简谐振动系统机械能守恒3.简谐振动的合成(1)两个同方向同频率简谐振动的合成合振动仍是简谐振动,其频率与分振动的频率相同。)cos(21020212221AAAAA)cos(),cos(20221011tAxtAx)cos(021tAxxx若两分振动同相2010=2k(k=0,1,2,…)则A=A1+A2,两分振动相互加强若两分振动反相2010=(2k+1)(k=0,1,2,…)则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱5(2)同方向不同频率的两个简谐振动的合成两个简谐振动的频率1和2很接近，合成产生拍现象。12拍频:单位时间内强弱变化的次数(3)两个同频率相互垂直的简谐振动的合成合运动一般一个椭圆。(4)方向垂直的不同频率的简谐振动的合成两振动的频率成整数比，合运动轨迹称为李萨如图形。)cos(),cos(02220111tAxtAx两个简谐振动合成得：)2cos()2cos(201212ttAx6两个同频率相互垂直的简谐振动的合成的几种特殊情况10200243452347474.阻尼振动1)运动方程kxF（胡克定律）恢复力阻尼力txvFxxdd阻阻尼振动——振幅(或能量)随时间不断减少的振动.能量减少的原因:摩擦阻尼和辐射阻尼.为方便，均视为摩擦阻尼txkxtxmdddd22mk20m20为固有频率,令为阻尼因数0dd2dd2022xtxtx82202.)运动学特征0)cos(etAxt(1)欠阻尼振动其解：其中：tAe)cos(t—振幅随时间衰减—周期振动阻尼越小，越接近谐振动阻尼越大，“周期”越长220π2π2T准周期txoA09c1、c2是由初始条件定的常数.(2)过阻尼状态（阻尼大）0ttccx)(2)(1202202ee其解：此时物体不再作振动，以非周期运动的方式慢慢回到平衡位置，如弹簧振子放入粘性大的油中.具体运动过程与初速v0有关.0dd2dd2022xtxtx10c1、c2亦由初始条件定.振动物体从静止开始运动回复到平衡位置时最短.(3)临界阻尼状态ttccxe)(210一般解：过阻尼临界阻尼欠阻尼txO115受迫振动受迫振动——振动系统在周期性外界强迫力作用下的振动.（1.）动力学方程tFtFcos)(0设驱动力对弹簧振子mFfmmk020,2,F0为力幅tFtxkxtxmcosdddd022tfxtxtxcosdd2dd02022得令12在小阻尼情况，通解为：)cos()cos(e0tAtAxt2）受迫振动的运动特征经一段时间,振子达稳定振动状态,其特点：为纯阻尼振动t此项为零不随t衰减,稳态解(1)频率与驱动力频率相同.(2)并非决定于初始条件，是稳定振动的位移与驱动力的相位差.2202tan13222220004）（fA(3)A0由固有参量决定tx（3）共振位移共振——振动系统受迫振动时,其振幅达极大值的现象.A0ω0Oωr0dd0A220r2由得共振频率(位移共振条件)共振时位移与驱动力的相位差220r2tan14速度共振（速度振幅最大）.0速度共振条件v0=ωA0Oω0=ω不同物理量有不同的共振条件.=2151.一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为(A)T/12．(B)T/8．(C)T/6．(D)T/4．[]x02A3/旋转矢量法首先画出二分之一最大位移处旋转矢量图，然后，再画最大位移处旋转矢量图。设所求的时间为t，则有3tT26TtC162.如图所示，质量为m的物体，由劲度系数为k1和k2的两个轻弹簧连接到固定端，在水平光滑导轨上作微小振动，其振动频率为mk1k2(A)(B)(C)(D)mkk212mkk2121212121kmkkk)(212121kkmkk[]D21111kkk2121kkkkkmk＝2T)(2112121kkmkkT173将以弹簧振子的弹簧剪掉一半，其振动周期变为（A）原来的一半（B）原来的一倍（C)原来的倍（D）原来的倍21/2k1k2k2121kkkkk[D]12=22mmTkk112=2kkkk184.一质点作简谐振动．其运动速度与时间的曲线如图所示．若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为(A)/6．(B)5/6．(C)-5/6．(D)-/6．(E)-2/3．v(m/s)t(s)Ovmmv21答案：(C)参考解答：令简谐振动的表达式：)cos(tAx对t求导数得速度表达式：)sin()sin(ttAmvvAmv.sin,00mtvv在本题中，,2,00mtvv.21sin.61,65),cos(ddttmvv,cosdd0mvvtt考虑0dd0ttv即,0cos.65195.一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的_______．（设平衡位置处势能为零）．当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长l，这一振动系统的周期为__________．3/4，gl/2m0llxxo弹簧原长挂m后伸长某时刻m位置伸长平衡位置k位移等于振幅的一半时)(sin21022tkAEk，得)cos(tAx21)cos(t3)(t43212kA221kAEEEpk总代入2AxmglkmkglT22lmgk/20[例题2]弹簧振子如图所示,弹簧原长L，质量ms，劲度系数k，振子质量m，计算弹簧振子系统的固有频率.mxOldl[解]以弹簧子自由伸长处为原点建立坐标Ox，距弹簧固定端l处取一元段dl.振子发生位移x,则dl段的动能lxlLmxLlllmEd21))(d(21d223s2sk2s0223s0k')3(21d21dxmlxlLmEELLk2k21xmEs31mm等效质量21mmmT弹簧振子系统的总质量3sT0mmkmk系统的固有频率对吗？()lxlxL假设是否合理？mxOldl226.图中所示为两个简谐振动的振动曲线．若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为x=x1+x2=________________(SI)x(m)t(s)Ox1x2120.08-0.04设：)cos(),cos(222111tAxtAx04.0,08.0,221AAT,0,01xt,0dd00ttxv.2,0cos11.2,0sin11同理：,0,02xt.2,0cos22,0dd00ttxv.2,0sin22)2cos(04.0),2cos(08.021txtx0x1A2AA)2cos(04.0tx237.分别敲击某待测音叉和标准音叉，使它们同时发音，听到时强时弱的拍音．若测得在20s内拍的次数为180次，标准音叉的频率为300Hz，则待测音叉的频率为______________．12拍频:单位时间内强弱变化的次数Hz3001设992112，或者则有：Hz291Hz30922，或者248.一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点(t=0)，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB=10cm求：(1)质点的振动方程；(2)质点在A点处的速率．ABx解：，做旋转矢量图由BvvAx0ABAvBv0tst2st4可知42,42TT(1)以的中点为坐标原点，x轴指向右方．t=0时，coscm5Axt=2s时，sin)2cos(cm5AAx由上二式解得1tan因为在A点质点的速度大于零，所以（如图）或4543)cos(tAx)sin(tAvBvvAA和B所对应的旋转矢量在同一直线上。Bv258.一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点(t=0)，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB=10cm求：(1)质点的振动方程；(2)质点在A点处的速率．ABx解：x0ABAvBv0tst2st4443Bvt=0时，coscm5Axcm25)4/3cos(5A∴振动方程(SI))434cos(10252tx(2)速率)434sin(41025dd2ttxv当t=0时，质点在A点m/s1093.3)43sin(10425dd22txv26单摆周期的研究:（1）单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内；（2）单摆悬挂于以加速度a（ag）下降的电梯内;(3)单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内。求此三种情况下单摆的周期，摆长为l.279．如图1所示，一定滑轮的半径为R，转动惯量为I，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示．设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力．现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率．m图1解：取如图x坐标，平衡位置为原点O，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长x0)1(0kxmg设m在x位置，分析受力,这时弹簧伸长0xx)2()(02xxkT由牛顿第二定律和转动定律列方程：)3(1maTmg)4(21IRTRT)5(Ra0xx0mg1T1T2T联立解得mRIkxa)/(2由于x系数为一负常数，故物体做简谐振动，其角频率为