理论力学--第十章-动量定理

几个有意义的实际问题太空拔河，谁胜谁负？偏心转子电动机工作时会不会左右运动？这种运动有什么规律？会不会上下跳动？蹲在磅秤上的人站起来时，磅秤指示数会不会发生变化？放置在光滑台面上的台式风扇，工作时会发生什么现象？水水池隔板光滑台面抽去隔板后将会发生什么现象？为什么射击时有后坐力？§10–1动量与冲量§10–2动量定理§10–3质心运动定理第十章动量定理§10-1动量与冲量一、动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例：子弹：速度大，质量小；1.质点的动量：大小方向单位与速度方向相同kg•m/svm|v|m船：速度小，质量大。质点系中各质点动量的矢量和iimpv2、质点系的动量动量主矢3、动量主矢与质心运动之间的关系cvMpMrmriiC动量主矢=质点系的质量与质心速度的乘积。iivmpiiiirmdtddtdrm3、刚体的动量平动定轴转动CvM平面运动CvMiivmPCiv)m(CvMiivmPiivmPiiCrmrM适用范围如何注意动量计算中使用质心的绝对速度CCv例1:圆盘质量为M，半径为r，图示瞬时三种情况下圆盘的，求各自的动量。CCvCMrMvPc10P2MrMvPC3例2.质量为M的滑块A在滑道内滑动,其上铰接一质量为m长度为l的均质杆AB,当AB杆与铅垂线的夹角为时,滑块A的速度为v,杆AB的角速度为,求该瞬时系统的动量.ABCvcosvCAvvcxsinvCAcyvABCvvCAvABAPPPl21vCAcos21lvvcxsin21lvcy)cos(lm21mvMvPxsin21lmPyABCvvCAvAB例3、水平面上放一均质三棱柱A，在此三棱柱上又放一均质三棱柱B。两三棱柱的横截面都是直角三角形，且质量分别为M和m。设各接触面都是光滑的，在图示瞬时,三棱柱A的速度为v，方向向左；三棱柱B相对于A下滑的速度为u，求该瞬时系统的动量。ABvuPAx=-MvvBx=-v+ucosvBy=-usinPx=-(M+m)v+mucosPy=-musinBAPPPvuxyOCAB例4、椭圆规机构的规尺AB的质量为2m1，曲柄OC的质量为m1，滑块A和B的的质量均为m2。已知OC＝AC＝CB＝l。曲柄和规尺均为均质细直杆。曲柄以角速度逆时针转动。求机构的动量。ωt运动分析xyOtAB1vBvAvCv分析质心运动速度)cos(cosvt290vtCA)cos()cos(vCt90vt290BtvmtvmvmPCABOAAAxsinsin1tvmtvmvmCABOABBycoscosP11：曲柄OA长度为R，质量为ｍ，绕轴O以匀角速度ω转动；滑块的质量为ｍ，滑道的质量为M，求当OA与水平线成30度角时系统的总动量。OABC2：斜面的倾角为45度，A物体的质量为m，B滑轮的质量为2m，C物体的质量为m。其中A物体以速度v匀速下降，求系统的总动量。ABC3：OA杆长为L1，质量为m1；AB杆长为L2，质量为m2；滚子的质量为m3，半径为R。OA杆以匀角速度ω转动。求图示瞬时系统的动量。OABω4：均质圆盘的质量为M，半径为R，以匀角速度ω绕过质心的铅垂轴旋转。质量为m的物块以相对于圆盘vr的速度沿半径向外运动，求当物块运动到离转轴的距离为r时系统的动量。5、履带行走机构中，履带的总质量为M；二轮的质量各为ｍ，半径为R，视为均质圆盘。二轮的间距为πR，车的前进速度为v，求系统的动量。2．力是变矢量：（包括大小和方向的变化）F21()IFtt1．力是常矢量：F二、冲量作用力与作用时间的乘积。元冲量：冲量：dt(t)FIddt(t)FI21tt冲量为矢量，其单位与动量单位相同为N·s§10-2动量定理一、质点的动量定理Fam2121ttmvmvFdtI微分形式：积分形式：FdtvdmamF)vm(dtddtF)vd(m二、质点系的动量定理(e)(i)d()(1,2,,)diiiimintvFFmpveiFdtpd(i)0F质点系的动量主矢对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（或外力的主矢）矢量形式iieiiiFF)vm(dtdiieiiiFF)vm(dtd质点系动量定理的微分形式★投影形式eixxFdtdpeiyyFdtdpeizzFdtdpFpdtdni(e)i1dd10)e(0nititFppp或1(e)i0niIpp对上式积分，得质点系动量定理的积分形式，在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力的冲量矢量和。★投影形式(e)0(e)0(e)0,,zzzyyyxxxIppIppIpp例1电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为,转子质量为.定子和机壳质心,转子质心,,角速度为常量.求基础的水平及铅直约束力.1m2m1O2OeOO21temgmmFycos)(2221temFxsin22得emp2tempxcos2tempysin2解:12ddyypFmgmgtddxxpFt由xtemsin22方向:动约束力-静约束力=附加动约束力本题的附加动约束力为ytemcos22方向:电机不转时,,称静约束力;电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束力.0xFgmmFy)(21110ababpppp1111()()bbababaapppp11bbaappd()Vbaqtvv解:dt内流过截面的质量及动量变化为例11-2流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,且是定常流动.求管壁的附加动约束力.流体受外力如图,由动量定理,有FF为静约束力;为附加动约束力0abPFFF由于()VbaFqvv得d()()dVbaabqtvvPFFFt()VbaabqvvPFFF即FFF设例重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的反力。ABvv21运动学分析受力分析aAvBvAm1gFOyFOxm2g动量计算0pxB2A1yvmvmpadtdvAaAvBvAm1gFOyFOxm2g应用动量定理])v2m[(mdtdA21OxxFdtdPa)2mm(gmgmF2121Oy水平方向铅锤方向0FOxOy21FgmgmyFdtdPy三、质点系的动量守恒定律0iF常矢量P矢量形式守恒0xF常量xP★投影形式守恒实际问题解释放置在光滑台面上的台式风扇，工作时会发生什么现象？实际问题的解释水水池隔板光滑台面抽去隔板后将会发生什么现象？为什么射击时有后坐力？利用动量守恒原理宇航员A、B的质量分别为mAmB，开始时二人在太空保持静止。若A的力气大于B，问二人的胜负如何？0F0vmvmBBAA不分胜负=(mA+mB)vc1、只有外力才能改变质点系的动量2、但内力能改变其中各部分的动量。3、动量守恒方程中的速度必须是绝对速度；4、确定一个动量的正方向，严格按照投影的正负计算。注意事项内力不能改变质点系的动量；例题1：小车重P1=2kN,车上有一人，重P2=0.7kN，车与人以共同速度v0在光滑直线轨道上匀速行驶。如人以相对于车的水平速度u向后方跳出，如图示。求小车增加的速度。uv0N1N2P1uv0P2Px=Px00eixFPx=c(恒量)受力分析021x0v)mm(Px22x11xvmvmP11vmv1sm520vvv01/.)(uvm12ABαuC例2重为P3的直角三棱体置于光滑地面上，其一倾角为α；重量分别为P1、P2的物块A、B，用一跨过滑轮C的绳相接，放在三棱体的斜面上。不计滑轮、绳的质量及绳的伸长，且开始时都处于静止。试求当物块B相对于三棱体以速度u运动时，三棱体的速度。ABαuC受力分析NP1P20eixFPx=c(恒量)P3v-vv棱柱运动分析v-ucosvAv-usinvBABαuCNP1P2P3vxP)sin(vum10)PP)/(PsinPcos(32121Puv)cos(vum2vm3例3小车重2kN，沙箱重1kN，二者以速度v0＝3.5m/s运动。此时有一重为0.5kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动0.2s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。0vx1N2N0vx021vgWWv＝3m/s设沙箱滑动结束后车速为v，则有1N2N1WNFv再以小车为研究对象0xxppFtFtvgWvgW011F＝0.5kN1W3W2Wvg0Fxcpx例4质量为mA的均质三棱柱A在重力作用下沿着质量为mB的大均质三棱柱B的斜面下滑，大三棱柱倾角为。设各处摩擦不计，初始时系统静止。求：(1)B的加速度；(2)地面的支反力。ABBvrvrBAvvvABgmAgmBRSFx(e)＝0运动学分析受力分析BrAxvcosvvsinvvrAy动量守恒BvrvBvrvABgmAgmBR0)cos()(BrABBvvmvmcos()(1)ArABBmammaBrAxvcosvvsinvvrAy取一阶导数BvrvAgmANgmmmaBAAB)sin(22sin2取A物体Nsin)]vcos(vm[dtdBrABrAxvcosvvsinvvrAyBvrvABgmAgmBRNcosgm)sinvm(dtdArA()sin()()ABArABBRmmgmammgatgR-singmgmamBArABvrvABgmAgmBR取整体铅锤方向BrAxvcosvvsinvvrAyRgmgmdtvmdBArA)sin(1：一人的质量为m1，手上拿一质量为m2的物体以与地面成α角的速度v0向前上方跳，到达最高点时以相对速度ｕ抛出物体。问由于物体的抛出，人跳的距离增加多少？2：甲乙二船浮在水面上，甲船与人的总质量为m1=400Kg，乙船的质量为m2=200Kg。甲船上一人通过连接在乙船上的绳用一水平恒力拖动乙船。开始时二船静止。8秒钟后乙船的速度达到v=4米/秒。求此时甲船的速度及绳的拉力。3：小车A重为1KN，在光滑的直线上以速度v1=60厘米/秒匀速前进。B物体重为0.5KN，以速度v2=40厘米/s铅垂下落到小车A上后与小车一起运动。求①二者的共同速度；②B物体受到的冲量；③如果B物体无初速度地放在A上，A、B间的动摩擦系数为0.25，求B在A上的相对滑动时间。BA4：小车A重100公斤，在光滑的直线上以速度v1=1米/秒匀速前进。今有一体重为50公斤的人从某一高度以速度v2=2米/秒与水平线成60度角跳到小车A上；站稳后又从车上以相对小车v3=1米/秒与水平线成30度角向后下方跳。求人跳离后小车的速度。1．质心mxmxiiCmymyiiCmzmziiC,,iiCmrrmimm,§10-3质心运动定理例已知:为常量,均质杆OA=AB=,两杆质量皆为,滑块B质量.l1m2m求:质心运动方程、轨迹及系统动量.解:设，质心运动方程为t消去t得轨迹方程1])2/([])2/()(2[221122121mmlmymmlmmxcctlmmmmtmmlmlmlmxCcos2)(2cos22232212121211tlmmmtmmlmyCsin2sin222211211tlmmxmmvpCCxxsin)(221tlmymmvpCC