10第十章动量定理.ppt

第十章动量定理§10-1动量和冲量§10-2动量定理§10-3质心运动定理动力学普遍定理概述动力学普遍定理包括：动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理：描述质点或质点系的动量与外力之间的关系。动量矩定理：描述质点或质点系的动量矩与外力矩之间的关系。动能定理：描述质点或质点系的动能与力的功之间的关系。注意：1、这三个定理建立的都是物体的运动量与力的作用量之间的关系。2、这三个定理都可以由动力学基本方程导出，因而都仅适用于惯性参考系。注意：(1)动量是矢量，方向与质点运动的速度方向相同。(2)动量是瞬时量。(3)动量的单位是:1、动量s/mkgmv质点的动量：或Ns动量是表征物体机械运动强弱的一个物理量。§10－1动量和冲量故有：iiCmmpvviimpv质点系的动量：质点系中各质点动量矢的矢量和。ddddCiimmttrr质心位置：iiCmmrrCiimmrr改写为：即Ciimmvv均质物体的质心与重心重合质点系的动量在直角坐标轴上的投影：xiixCxyiiyCyziizCzpmvmvpmvmvpmvmv即：质点系的动量在某一轴上的投影等于质点系的质量与其质心速度在该轴上投影的乘积。例下图中三个均质物体的质量都是m，求它们的动量。wwOOOvOAlr（a）（b）（c）2lpmw0pOpmvpmlwpmrw例：均质圆盘在OA杆上纯滚动，m＝20kg，R＝100mm，OA杆的角速度为，圆盘相对于OA杆转动的角速度为，。rad/s11wrad/s42wmm3100OB求：此时圆盘的动量。OAB1w2w解：圆盘作平面运动，以圆盘与杆接触点B为基点。OAB1w2wBvCBvCBvCvmm/s31001OBvBwmm/s300)(12RvCBwwmm/s320022CBBCvvv6.93NsCpmvm＝20kg，R＝100mm，rad/s11wrad/s42wmm3100OB例已知:w为常量,均质杆OA=AB=l，两杆质量皆为m1,滑块B质量m2。求:质心运动方程、轨迹方程及系统动量。OABjwxy解:设，质心运动方程为twj消去t得轨迹方程221212112[][]12()/(2)/(2)CCxymmlmmmlmmtlmmmmtmmlmlmlmxCwwcos2)(2cos22232212121211tlmmmtmmlmyCwwsin2sin222211211OABjwxytlmmxmmvpCCxxwwsin)(221tlmymmvpCCyywwcos1tmtmmlpppyx)(4系统动量在x,y轴的投影为:系统动量的大小为:12122()cos2Cmmxltmmw112sin2Cmyltmmw2、冲量冲量可以度量力对物体的作用效应在时间中的累积。力对物体的作用效应不仅与力有关，还与力作用的时间长短有关。tIF常力的冲量ddtIF变力的元冲量21dtttIF12tt在内的冲量注意冲量是矢量冲量单位Ns或kgm/s冲量在直角坐标轴上的投影212121dddtxxttyyttzztIFtIFtIFt作用在物体上力系合力的冲量221112d(+++)dttnittttIFFFFI在任一时段内，合力的冲量等于所有分力的冲量的矢量和。1、质点的动量定理d()dmtvF称为微分形式的质点动量定理，即质点动量对时间的导数等于作用于质点上的所有力的合力矢。ddmmtvaF质点动力学基本方程：将m放入微分号内，得注意：质点动力学基本方程与微分形式动量定理的区别及各自的适用范围。§10－2动量定理2、质点系的动量定理eiF外力:内力性质:i0iF（1）i()0OiMF（2）对Mi质点:eid()diiiimtvFFFeid()diiiimtvFF内力:iiF设质点系由n个质点组成，作用于任一质点Mi上的力可以分为系统的外力和内力。i＝1、2、…、nn个方程相加：edditpF即称为微分形式的质点系动量定理,即质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力矢的矢量和。eid()diiiimtvFFed()diiimtvFeddxxpFteddyypFteddzzpFt动量定理微分形式的投影式将改写为edditpF两边积分2211eddtittpppF得21ee21dtiittppFIedditpF称为积分形式的质点系动量定理,即任一时段内质点系动量的增量，等于作用于质点系的所有外力在同一时段内的冲量矢的矢量和。动量定理积分形式的投影式21ee21dtxxixixtppFtI21ee21dtyyiyiytppFtI21ee21dtzziziztppFtI3、质点系动量守恒定律e0F若若e0xF则p为恒矢量则px为恒量例质量为m1的机车，以速度v1撞接质量为m2的静止车厢。不计轨道摩擦。试求撞接后这一列车的速度。解:取机车和车厢为质点系。由于撞接过程中，水平方向没有外力作用，故有Px＝常量撞接前撞接后1110xpmv212()xpmmv故有1112()mvmmv1112()mvvmm撞接过程中机车损失的动量等于车厢增加的动量,发生了机械运动的传递。1112mvmvmv讨论：1.1112()mvmmv2.机车和车厢各自动量的变化是由什么力引起的?Fy例质量为m＝0.2kg的垒球，初速度v1＝40.3m/s，受到垒球棒的打击后，其速度v2＝66.7m/s，方向如图。若打击时间为t＝0.05s，求垒球受到的平均打击力。FxWv1v230解：取垒球研究。xy应用动量定理积分形式的投影式e21xxixppI21(cos30)xmvmvFte21yyiyppI2sin300()ymvFmgt得21(cos30)392.26NxmvvFt2sin30133.4N+1.96N=135.36NymvFmgt22414.96NxyFFF垒球受到的平均打击力为讨论棒击垒球是碰撞问题，碰撞问题的特点是碰撞经历时间极短。故在碰撞问题中可以作两点假设：1、普通力忽略不计。在碰撞极短的时间内，物体的速度发生有限的改变，因此加速度很大，因而碰撞力很大，普通力如重力、弹性力、摩擦力等可以不计。本例若不计重力，则垒球受到的平均打击力为414.32N，它的大小是球重力的211倍。2、物体位置不发生改变。碰撞过程中，虽然速度是有限量，但是碰撞历时极短，因此可以认为碰撞过程中物体的位置不发生改变。例电动机外壳固定在水平基础上，定子和外壳的质量为m1，转子质量为m2。定子和机壳质心O1，转子质心O2，O1O2＝e，角速度w为常量。求基础的水平及铅直约束力。temgmmFywwcos)(2221temFxwwsin22得解:应用动量定理求解12ddyypFmgmgtddxxpFt由2pmew2cosxpmetww2sinypmetww另解应用质心运动定理求解eCiiCimmaaF在x轴上投影temgmmFywwcos)(2221temFxwwsin22得22sinxmetFww2212cos()ymetFmmgww在y轴上投影xtemwwsin22方向:动约束力-静约束力=附加动约束力本题的附加动约束力为ytemwwcos22方向:称为静约束力0xFgmmFy)(21电机转动时的约束力称动约束力，上面给出的是动约束力。temgmmFywwcos)(2221temFxwwsin22电机不转时静约束力则是由主动力引起的，它与主动力相平衡。附加动约束力是由于动量发生变化引起的。例流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,且是定常流动,水的质量密度为r，体积流量为qv，水流在a—a、b—b两断面的平均流速分别为va和vb，求管壁的附加动约束力。11dababppp1111()()abbbaaabpppp11d()bbaabamppvvd()Vbaqtrvv解:取弯管中的流体研究，应用动量定理求解dt内流过截面的质量为dm=qvrdt，受到的外力如图aabba1a1b1b1流体在dt时段内由a—b位置运动到a1—b1位置，其动量的增量为vbvaGFNFbFaNF为附加动约束力得附加动反力为d()deVbaqtrpvvFNNNFFF设由动量定理,有N()VbaabqrvvGFFF为静约束力NFN0abGFFFN()VbaqrFvvNN()VbaabqrvvGFFFFaabba1a1b1b1vbvaGFNFbFadd()Vbaqtrpvv例水流在等截面直角弯管中作定常流动，流速为v，弯管横截面面积为A，求管壁对流体的附加动反力。v1v2xy解：取弯管中水流研究，受到的附加动反力如图。Nv21v1()(0)xxxFqvvqvrr2Nv1vxFqvqvAvrrrNv21v2()(0)yyyFqvvqvrr2Nv2vyFqvqvAvrrr受力图中假设的动反力方向正确。NxFNyFN()VbaqrFvvv1122qAvAvAvv1v2xy注意：当A、v很大时，水流给弯管的附加动压力很大，故在管子的弯头处要安装支座。FmmCFmC2mmC2mF质点系在力的作用下，其运动状态不仅与各质点的质量大小有关，而且还与质量分布情况有关。§10－3质心运动定理1、质点系的质心mxmxiiCmymyiiCmzmziiC,,iiCmmrrimm在地面附近，质点系的质心与重心相重合。质心比重心具有更广泛的意义。质点系质量分布中心称为质心OxyzCMixCyCzCxiyizirirC2222ddddCiimmttrr2、质心运动定理iiCmmrrCiimmrrddddCiimmttrr两边对时间求导22ddiiimtrF2ei2ddiiiimtrFF改写为eiFiiF——质点Mi受到的系统外力的合力——质点Mi受到的系统内力的合力eddCimtvF得eCimaF或称为质心运动定理,即:质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和.22ei22ddddCiiiimmttrrFF由于i0iFeCiiCimmaaF对刚体系统质心运动守恒定律e0F若则常矢量Cve0xF若则常量CxveCxxmaFeCyymaFeCzzmaF2eCnvmFreCtvmFtdde0bF在直角坐标轴上的投影式为:在自然轴上的投影式为:内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动.例如图所示,均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度w转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D运动.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点E.在活塞上作用一恒力F。不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx.EtmmmmrtxaCCxwwcos2dd2121222tmmrFFxwwcos221221max22xmFFrmw显然,最大水平约束力为FFammxCx2112121coscos2Crxmmrbmmjj解:取系统研究E另解2212coscos2xrmtmrtFFeiiCimaF将式在x轴上投影，有AB杆质心加速度在x轴上投影为2cos2rtwwBD杆质心加速度在x轴上投影为2cosrtwwtmmrFFxwwcos2212得