新课标人教A版高中数学必修4知识点总结

-1-高中数学必修4知识点总结第一章：三角函数§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：Zkk,2.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、rl.3、弧长公式：RRnl180.4、扇形面积公式：lRRnS213602.§1.2.1、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点yxP,，那么：xyxytan,cos,sin2、设点,Axy为角终边上任意一点，那么：（设22rxy）sinyr，cosxr，tanyx，cotxy3、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT4、特殊角0°，30°，45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.064322334322sincostan§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：1cossin22.2、商数关系：cossintan.3、倒数关系：tancot1§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Zk）TMAOPxy-2-1、诱导公式一：.tan2tan,cos2cos,sin2sinkkk（其中：Zk）2、诱导公式二：.tantan,coscos,sinsin3、诱导公式三：.tantan,coscos,sinsin4、诱导公式四：.tantan,coscos,sinsin5、诱导公式五：.sin2cos,cos2sin6、诱导公式六：.sin2cos,cos2sin§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.sinyx在[0,2]x上的五个关键点为：30010-12022（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx-2-y=tanx322-32--2oyx3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有xfTxf，那么函数xf就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.2图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质xysinxycosxytan图象定义域RR},2|{Zkkxx值域[-1,1][-1,1]R最值maxmin2,122,12xkkZyxkkZy时，时，maxmin2,12,1xkkZyxkkZy时，时，无周期性2T2TT奇偶性奇偶奇单调性Zk在[2,2]22kk上单调递增在3[2,2]22kk上单调递减在[2,2]kk上单调递增在[2,2]kk上单调递减在(,)22kk上单调递增对称性Zk对称轴方程：2xk对称中心(,0)k对称轴方程：xk对称中心(,0)2k无对称轴对称中心,0)(2k§1.5、函数xAysin的图象1、对于函数：sin0,0yAxBA有：振幅A，周期2T，初相，相位x，频率21Tf.2、能够讲出函数xysin的图象与sinyAxB的图象之间的平移伸缩变换关系.①先平移后伸缩：sinyx平移||个单位sinyx（左加右减）横坐标不变sinyAx纵坐标变为原来的A倍3纵坐标不变sinyAx横坐标变为原来的1||倍平移||B个单位sinyAxB（上加下减）②先伸缩后平移：sinyx横坐标不变sinyAx纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变sinyAx横坐标变为原来的1||倍平移个单位sinyAx（左加右减）平移||B个单位sinyAxB（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()yx，x∈R及函数cos()yx，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期2||T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,ω,为常数，且A≠0)的周期||T.对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数sin()yAx图像的对称轴与对称中心，只需令()2xkkZ与()xkkZ解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：maxmin2yyA，maxmin2yyB.要根据周期来求,要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用1、要求熟悉课本例题.第三章、三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：sincostan1242642632§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式41、sincoscossinsin2、sincoscossinsin3、sinsincoscoscos4、sinsincoscoscos5、tantan1tantantan.6、tantan1tantantan.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、cossin22sin，变形：12sincossin2.2、22sincos2cos1cos222sin21.变形如下：升幂公式：221cos22cos1cos22sin降幂公式：221cos(1cos2)21sin(1cos2)23、2tan1tan22tan.4、sin21cos2tan1cos2sin2§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cossin22xbaxbxay（其中辅助角所在象限由点(,)ab的象限决定,tanba).第二章：平面向量§2.1.1、向量的物理背景与概念1、了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度5等于1个单位的向量叫做单位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3、相等向量与共线向量1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、ba≤ba.§2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向规定如下：⑴aa,⑵当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反.2、平面向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ab.§2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数21,，使2211eea.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、yxjyixa,.§2.3.3、平面向量的坐标运算1、设2211,,,yxbyxa，则：6⑴2121,yyxxba，⑵2121,yyxxba，⑶11,yxa，⑷1221//yxyxba.2、设2211,,,yxByxA，则：1212,yyxxAB.§2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设332211,,,,,yxCyxByxA，则⑴线段AB中点坐标为222121,yyxx，⑵△ABC的重心坐标为33321321,yyyxxx.§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、cosbaba.2、a在b方向上的投影为：cosa.3、22aa.4、2aa.5、0baba.§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设2211,,,yxbyxa，则：⑴2121yyxxba⑵2121yxa⑶121200ababxxyy⑷1221//0ababxyxy2、设2211,,,yxByxA，则：212212yyxxAB.3、两向量的夹角公式7121222221122cosxxyyababxyxy4、点的平移公式平移前的点为(,)Pxy（原坐标），平移后的对应点为(,)Pxy（新坐标），平移向量为(,)PPhk，则.xxhyyk函数()yfx的图像按向量(,)ahk平移后的图像的解析式为().ykfxh§2.5.1、平面几何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的应用举例知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、直线的方向向量和平面的法向量⑴．直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.⑵．平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量.⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为(,,)nxyz．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)aaaabbbb．④根据法向量定义建立方程组00nanb.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.（如图）2、用向量方法判定空间中的平行关系8⑴线线平行设直线12,ll的方向向量分别是ab、，则要证明1l∥2l，只需证明a∥b，即()akbkR.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线.⑵线面平行①（法一）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l∥，只需证明au，即0au.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证∥，只需证u∥v，即证uv.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线.3