(正比例的意义)

正比例的意义[教学内容]《义务教育教科书·数学（六年级下册）》41～42页[教学目标]1.在具体情境中认识成正比例的量，理解正比例的意义，能正确判断成正比例的量，初步认识正比例的图像是一条直线。2.通过观察、比较、分析、归纳等数学活动中，感知数量之间“变”与“不变”的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，提高学生分析比较、归纳概括和判断推理的能力，同时渗透初步的函数思想。3.通过学习活动，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识，养成主动参与学习的习惯。[教学重点]正确理解正比例的意义。[教学难点]能准确判断成正比例的量。[教学准备]多媒体课件。[教学过程]一、创设情境，提供素材师：今天，老师要和大家一起到啤酒生产车间去看看。请看屏幕，（课件出示情境图）自动化的生产设备极大地提高了生产效率。工人师傅还对啤酒生产情况进行了记录。（课件出示啤酒生产情况记录表）啤酒生产情况记录表工作时间（时）01234567…工作总量（吨）0153045607590105…师：仔细观察，你发现了哪些数学信息？预设1；记录的是工作时间和工作总量。预设2；工作时间1小时，工作总量是15吨；工作时间2小时，工作总量30吨…预设3：每小时生产15吨。学生观察表格，初步感知记录表中两种常见的量——工作时间和工作总量。【设计意图】从啤酒生产情况这一话题导入新课，把抽象的数量关系融入熟悉的现实背景，为学生的数学学习提供具体可感的环境与材料。对表格内容的初步感知，为后面分析数据、理解数量关系奠定基础。二、分析素材，理解概念（一）分析比较，初步感知变化规律1.分析数据，初步感知变化规律师：仔细观察分析表格中的数据，工作总量和工作时间的变化有怎样的规律？学生独立完成作业纸，在小组内交流自己的发现，然后组织全班交流。预设1：工作时间扩大（缩小），工作总量也随着扩大（缩小）。预设2：工作时间越长，工作总量就越多。预设3：工作效率不变，每小时生产15吨。教师引导学生借助数据分析感知工作总量和工作时间的“变化”特点：工作总量随着工作时间的变化而变化，进而认识它们是“两种相关联的量”。在此基础上引导学生通过计算让学生感受两种量“不变”的特点：比值不变。并引导学生用关系式表示他们三者之间的关系。板书：工作时间工作总量=工作效率（一定）2.借助图像，直观感受变化规律师：工作总量和工作时间的关系除了用这样的关系式来表示，其实，还可以用图来表示。数形结合下面我们借助电脑来看一看（见图1）。师：横轴表示工作时间，纵轴表示工作总量。图上的哪个点可以表示1小时生产15吨啤酒？学生指图介绍，课件动态演示。追问：那2小时生产30吨呢？（学生指图）这个点又表示什么呢？（课件动态闪烁）图1预设：3小时生产45吨啤酒。教师小结：看来表格中每一组对应的数据都能在图中找到一个对应的点。师：如果将这些点依次连接起来会是什么样子？想象一下，能不能用手势比划一下。学生手势比划，课件动态演示连点成线的过程。追问：如果继续画下去，整个变化趋势是怎样的？为什么会呈这样的上升趋势？预设1：因为工作时间扩大，工作总量也会随着扩大。预设2：工作效率不变。起点（0,0）强调一下引导学生明确正比例的图像是一条直线，进一步理解工作总量和工作时间的变化规律。（二）补充素材，进一步理解变化规律1.分析啤酒运输车行驶的路程和时间情况，理解变化规律师：刚才我们在啤酒生产当中研究了工作总量和工作时间的关系，下面我们去看看啤酒运输情况。（课件出示啤酒运输情况记录表）啤酒运输车行驶的时间和路程情况记录表师：仔细观察，这个表格中记录的两种量又有怎样的关系呢？把你的发现跟你的同桌说一说。预设1：路程是随着时间的变化而变化的。预设2：路程除以时间等于速度，速度都是80千米。预设3：路程和时间的比值一定。小结：时间变化，路程也随着变化；路程与时间的比值一定。引导学生用一个关系式来表示：时间路程=速度（一定）师：如果把路程和时间的关系也画在方格图中，想一想，会是什么样呢？引导学生先想象并比划画在方格图中的样子，再课件动态演示（见图2）。时间/时012345…路程/千米080160240320400…图22.分析啤酒销售中的总价和数量情况，进一步理解变化规律师：课前老师还对啤酒的销售情况进行了调查。这是啤酒销售中数量和总价情况记录。（课件出示）观察这个记录表，你又有什么发现？啤酒销售中数量和总价情况记录表数量/升012345…总价/元0510152025…学生独立借助表格分析总价和数量的变化规律，进一步明确：数量变化，总价也随着变化；总价与数量的比值一定。可以用这样的关系式表示：数量总价=单价（一定）引导学生先想象画在方格图中的样子，再课件演示（见图3）【设计意图】从教材的一组常见量，补充素材扩展到三组常见量，把常见的数量关系融入现实的“啤酒”主题情境串，不但能丰富学生的研究体验，而且加深对概念的理解。通过分析数据、用关系式表达、图像直观表征层层剖析、由表及里，使学生深入理解成正比例的两个量“变”与“不变”的规律。多媒体课件的动态演示，能让学生初步体会到了点与数、数与形之间的对应关系。学生不但经历数形结合，直观感受正比例图像的直线特点，而且能自然地渗透函数思想，加深对成正比例的两个量的变化规律的理解与掌握，进一步提升学生分析比较、归纳概括的能力。三、借助素材，总结概念（一）联系对比，归纳概括正比例的意义图3师：刚才我们一起研究了三组不同的数量(见图4)，它们的关系有什么相同的地方吗？预设1：一种量变化，另一种量也随着变化，它们的比值不变。预设2：把它们画在方格纸上都得到一条直线。教师揭示：这样的两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。这就是今天我们要学习的新知识——“正比例的意义”。（板书课题：正比例的意义）像工作总量与工作时间、路程与时间、总价与数量都是成正比例的量。想一想：生活中有哪些成正比例的量呢？（二）抽象概括正比例关系式师：在数学上为了交流的方便,统一用x和y分别表示两种相关联的变量，用k表示它们的比值，你能用一个字母式子表示成正比例的两种量之间的关系吗？教师小结：正比例关系式是yx=k（一定）（板书关系式）回想一下这节课我们对正比例的学习经历了怎样的学习过程？（三）试一试，深化理解小军每天读书20页，他读书总页数和读书天数如下表。天数12345……图4总页数2040……1.先将上表补充完整，再说说总页数和天数是怎样变化的？2.写出几组对应的总页数和天数的比，再比较比值的大小。3.这个比值表示什么？请用一个关系式表示它与总页数和天数的关系。4.读书天数和总页数成正比例吗？为什么？【设计意图】联系对比寻找三组数量关系的相同点，使成正比例的两个量的变化规律进一步凸显，正比例的概念水到渠成。寻找生活中成正比例的量，将数学与生活紧密相连，感受数学的价值。引导学生用字母关系式表示正比例关系让学生进一步体会到字母表达数量关系的简约性和优越性。四、巩固拓展，应用概念1.播音员播音的时间和字数如下表时间（分）58101220字数12502000250030005000播音的时间和播音字数成正比例吗？为什么？2.播音员的已播字数和未播字数如下表时刻8:028：038:048:05已播字数2505007501000未播字数12501000750500已播字数和未播字数成正比例吗？为什么？先让学生独立判断并说明理由，引导学生既关注“变化”又关注“不变”。3.判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由(1)天数一定，生产零件的总个数与每天生产零件的个数。(2)一个人的年龄和体重。重点引导学生利用列举数据、写出数量关系式等方式准确判断两个量是否成正比例。4.已知平行四边形的面积与高成正比例，请将下表填完整高（cm）45.57平行四边形面积（㎡）81219引导学生根据成正比例的量比值一定的规律解决问题。【设计意图】练习是掌握知识、形成技能、发展思维的重要手段。针对本课的教学重点、难点，从有数据到没有数据，再到利用成正比例的量比值一定的规律解决问题，层层递进，目的是让学生能灵活的运用新知分析问题、解决问题，进一步巩固和加深对正比例意义的理解，提高学生的数学思考力。五、回顾梳理，提升认识引导学生谈谈收获。学生可能谈到：知识：知道了什么是成正比例的量，正比例关系的图像是一条直线。方法：会判断两个量是否成正比例，会用正比例的知识解决问题。感受：数学与生活有着密切的联系。教师小结：同学们不仅学会了新知识，还掌握了新方法；不仅会思考，还能与同学合作解决问题，相信大家的收获也会随着时间的推移越来越丰硕！【设计意图】通过全面的回顾梳理，形成对正比例意义的完整认识，进一步明确判断两个量是否成正比例的方法，培养了学生的自我反思和全面梳理概括的能力。并通过教师的评价、学生自评、互评真正实现不仅关注学习结果，更要关注学习过程。[板书设计]