三角函数的图像和性质(复习课教案-含解答)

三角函数的图像与性质知识梳理：y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR{|,,}2xxxkkRZ且值域[－1，1][－1，1]R最值当x＝2k+2，k∈Zymax=1当x＝2k－2，k∈Z，ymin＝－1当x＝2k，k∈Z，ymax＝1；当x=2k+，k∈Z，ymin＝－1无奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性T＝2T＝2T＝单调性[2k－2，2k+2]，k∈Z增函数[2k+2，2k+32]，k∈Z减函数[2k，2k+]，k∈Z减函数,[2k-，2k]，k∈Z增函数(－2+k，2+k)（k∈Z）增函数题组1：基础再现1.函数sin2xy的最小正周期为.2.函数sin()4yx的单调增区间为.3.函数tan(2)3yx的定义域为.4.不求值，判断下列各式的符号：（1）tan138tan143（2）1317tan()tan()45题组2：三角函数的定义域与值域问题例1求函数y=lgsinx+cosx－12的定义域．解：要使函数有意义，只需sin0,1cos.2xx，∴22,22.33kxkkxk∴定义域为(2,2]3kk（k∈Z）．例2（1）求函数y＝cos2x+sinx，x∈[－4，4]的值域；（2）求函数cos3cos3xyx的值域；（3）若函数f(x)=a－bcosx的最大值为52，最小值为－12，求a，b的值．解：（1）令sinx＝t，∵x∈[－4，4]，∴t∈[－22，22]．∴y＝－t2+t+1＝－(t－12)2+54．∴当t＝12时，ymax＝54；当t＝－22时，ymin＝122．∴所求值域为[122，54]．（2）∵cos3cos3xyx，∴33cos1yxy．∵|cosx|≤1，∴33||1yy≤1，∴－2≤y≤－12．∴所求值域为[－2，－12]．题组3：三角函数的单调性与对称性问题一般地，函数y＝Asin(x+)的对称中心横坐标可由x+＝k解得，对称轴可由x+＝k+2解得；函数y＝Acos(x+)的对称中心、对称轴同理可得．例3求函数y＝sin(4－2x)的单调减区间.解：∵定义域为R，又sin(2)4yx，∴要求sin(2)4yx的减区间即求sin(2)4yx的增区间．∴222242kxk∴388kxk（k∈Z）．∴函数的定义域为3,88kk（k∈Z）．-2x232O-2-32-21-1yy＝sinxy＝cosxx2-2-yO变1求函数12logcosyx的单调减区间．解：∵cos0x，∴定义域为(,)44kk（k∈Z）．∴要求12logcos2yx的减区间即求cos2yx在定义域内的增区间．∴2222kxk，∴函数的定义域为(,]4kk（k∈Z）．变2已知函数tanyx在(,)22内是增函数，则的取值范围为．例4判断下列函数的奇偶性：（1）3()cos()2fxxx；（2）2()lg(sin1sin)fxxx；（3）21sincos()1sinxxfxx．答案：（1）偶函数；（2）奇函数；（3）非奇非偶函数．变1已知函数f(x)=sin(x+)+3cos(x－)为偶函数，求的值．解∵f(x)为偶函数，∴sin(x+)+3cos(x－)＝sin(－x+)+3cos(－x－)，∴sin(x+)+sin(x－)=3[cos(x+)－cos(x－)]，化简得tan=－33，∴=6k（kZ）．题组4：综合与创新1．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．必要不充分2．函数f(x)＝2cos212x－12－xx－1的对称中心坐标为________．(1，－1)3.已知函数()2cos(sincos)1fxxxxxR，．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）求函数()fx在区间π3π84，上的最小值和最大值．解：（1）π()2cos(sincos)1sin2cos22sin24fxxxxxxx．因此，函数()fx的最小正周期为π．（2）∵8≤x≤34，∴0≤2x－4≤54，∴－22≤sin(2x－4)≤1，∴函数()fx在区间π3π84，上的最大值为2，最小值为3π14f．3.设函数232()cos4sincos43422xxfxxtttt，xR，其中1t≤，将()fx的最小值记为()gt．（1）求()gt的表达式；（2）讨论()gt在区间(－1，1)内的单调性并求极值．解：（1）f(x)232sin12sin434xtxttt223sin2sin433xtxttt23(sin)433xttt．由于2(sin)0xt≥，1t≤，故当sinxt时，()fx达到其最小值()gt，即3()433gttt．（2）2()1233(21)(21)1gttttt，．列表如下：t(1)2，121()22，121(1)2，()gt00()gt极大值1()2g极小值1()2g由此可见，()gt在区间(1)2，和1(1)2，上单调递增，在区间1()22，上单调递减，极小值为1()2g=2，极大值为1()2g=4．2．已知a0，函数f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，当x∈0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝fx＋π2且lgg(x)0，求g(x)的单调区间．2．解：(1)∵x∈0，π2，∴2x＋π6∈π6，7π6.∴sin2x＋π6∈－12，1，∴－2asin2x＋π6∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得，f(x)＝－4sin2x＋π6－1，g(x)＝fx＋π2＝－4sin2x＋7π6－1＝4sin2x＋π6－1，又由lgg(x)0，得g(x)1，∴4sin2x＋π6－11，∴sin2x＋π612，∴2kπ＋π62x＋π62kπ＋5π6，k∈Z，其中当2kπ＋π62x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπx≤kπ＋π6，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为kπ，kπ＋π6，k∈Z.又∵当2kπ＋π22x＋π62kπ＋5π6，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋π6xkπ＋π3，k∈Z.∴g(x)的单调减区间为kπ＋π6，kπ＋π3，k∈Z.第26课时三角函数的图像与性质知识梳理：x2-2-yOy=sinxy=cosxy=tanx定义域RR{|,,}2xxxkkRZ且值域[－1，1][－1，1]R最值当x＝2k+2，k∈Zymax=1当x＝2k－2，k∈Z，ymin＝－1当x＝2k，k∈Z，ymax＝1；当x=2k+，k∈Z，ymin＝－1无奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性T＝2T＝2T＝单调性[2k－2，2k+2]，k∈Z增函数[2k+2，2k+32]，k∈Z减函数[2k，2k+]，k∈Z减函数,[2k-，2k]，k∈Z增函数(－2+k，2+k)（k∈Z）增函数题组1：基础再现1.函数sin2xy的最小正周期为.2.函数sin()4yx的单调增区间为.3.函数tan(2)3yx的定义域为.4.不求值，判断下列各式的符号：（1）tan138tan143（2）1317tan()tan()45题组2：三角函数的定义域与值域问题例1求函数y=lgsinx+cosx－12的定义域．例2（1）求函数y＝cos2x+sinx，x∈[－4，4]的值域；（2）求函数cos3cos3xyx的值域；（3）若函数f(x)=a－bcosx的最大值为52，最小值为－12，求a，b的值．题组3：三角函数的单调性与对称性问题一般地，函数y＝Asin(x+)的对称中心横坐标可由x+＝k解得，对称轴可由x+＝k+2解得；函数y＝Acos(x+)的对称中心、对称轴同理可得．例3求函数y＝sin(4－2x)的单调减区间.变1求函数12logcosyx的单调减区间．变2已知函数tanyx在(,)22内是增函数，则的取值范围为．例4判断下列函数的奇偶性：（1）3()cos()2fxxx；-2x232O-2-32-21-1yy＝sinxy＝cosx（2）2()lg(sin1sin)fxxx；（3）21sincos()1sinxxfxx．变1已知函数f(x)=sin(x+)+3cos(x－)为偶函数，求的值．题组4：综合与创新1.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．2．函数f(x)＝2cos212x－12－xx－1的对称中心坐标为________．3.已知函数()2cos(sincos)1fxxxxxR，．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）求函数()fx在区间π3π84，上的最小值和最大值．4.设函数232()cos4sincos43422xxfxxtttt，xR，其中1t≤，将()fx的最小值记为()gt．（1）求()gt的表达式；（2）讨论()gt在区间(－1，1)内的单调性并求极值．5．已知a0，函数f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，当x∈0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)＝fx＋π2且lgg(x)0，求g(x)的单调区间．