第六章--对流换热基本方程

第六章对流换热基本方程第六章对流换热基本方程6-1质量守恒与连续性方程如果研究对象取控制体，则有(6-1-1)假设流场是二维的，如图6-1所示。控制体为ΔxΔy，点(x，y)处的速度为u和v，控制体内的质量为ρΔxΔy。方程(6-1-1)应用于该控制体中，得到(6-1-2)cvmminoutmqqt()()()uvxyuyvxuxyvyxxy6-1质量守恒与连续性方程通过消去控制体体积ΔxΔy，得到(6-1-3)对于三维流动，类似地可以得到(6-1-4)这就是流体的连续性方程，用矢量形式表示，则为(6-1-5)式中div表示散度，即(6-1-6)()()0uvxy()()()0uvwxyz()0divV()(()()uvwdivVxyz）局部的质量守恒表达式也可以写为(6-1-7)即其中为全导数，即(6-1-8)为当地变化率。·V即速度矢量V的散度divV，因而方程形式变为6-1质量守恒与连续性方程()0uvwuvwxyzxyz0DVDDDDuvwDxyz(6-1-9)也可以用张量形式写出连续性方程，即(6-1-10)其中i＝1，2，3。对于不可压流体，密度ρ为常量，＝0，则连续性方程为(6-1-11)6-1质量守恒与连续性方程0DdivVD()0ivxDD0uvwdivVxyz将动量守恒定律应用于运动的流体(控制体)中，可以得到动量方程。控制体上的外作用力分为表面力(与表面积成正比，如压力和粘性应力等)和体积力(与体积成正比，如重力和离心力等)。考虑作用于控制体上的力平衡，有(6-2-1)式中，n表示所讨论的方向。有关动量方程的推导，只扼要讨论其二维情况。图6-2给出了二维有限控制体的动量变化和作用力分析，将式(6-2-1)应用于x方向，得到(6-2-2)6-2动量方程()()()ncvmnmninoutMvqvqv222()()()()()0xyxxxxyxyxuxyuyuuxyuvxuvuvyxxyyxyxyFxyxy6-2动量方程图6-2二维控制体在x方向上的力平衡等式两边同除以，得到(6-2-3)考虑前面得到的连续性方程(6-1-4)，有(6-2-4)式(6-2-4)中的法向应力和切向应力由下式给出：(6-2-5)(6-2-6)6-2动量方程()xyxxDuDuvuFDDxyxyxyxxDuFDxyyxy22()3xuuvPxxy()xyuvyx将应力关系式代式(6-2-5)、(6-2-6)，即得到x方向的纳维-斯托克斯方程：(6-2-7)如果流体是常物性和不可压缩的，则上式简化为(6-2-8)下面给出了直角坐标系下的三维、常物性、不可压缩流体的纳维-斯托克斯(N-S)方程：(6-2-9)(6-2-10)6-2动量方程22()()3xDuPuuvuvFDxxxxyyyx2222()()xuuuPuuuvFxyxxy222222()()xuuuuPuuuuvwFxyzxxyz222222222222()()()()yzvvvvPvvvuvwFxyzyxyz为简洁，可以表示为向量形式：(6-2-12)由热力学知(6-2-13)一般，不为零，但dP、dT较小时可以认为dρ0,ρ=常数。6-2动量方程2DVFPVD(,)fPT()()TPddPdTPT()TP()PT6-3能量方程convconddQdQdWdE6-3能量方程图6-3控制体能量平衡6-3-1热对流携的净能量单位质量流体的总能量e由热力学能与宏观动能组成，称为总能：(6-3-2)x方向流体携入控制体的净能量为ρuedydz与之差，即类似地可以得到y、z方向流体净携入的能量为和因而，单位时间内流体通过界面净携入控制体的能量为dE或6-3能量方程12eU222（u+v+w）dxdydz(ue)uedydz+xdxdydz(ue)xvdxdydzy(e)wdxdydzz(e)convuvwdQdxdydzxyz(e)(e)(e)6-3-2通过导热在界面导的净能．x方向净导能量为与之差，即由傅里叶定律6-3能量方程xqdydz()xxqqdxdydzxxqdxdydzxxTqx6-3能量方程因而x方向净导的能量可写为：类似的，y、z方向的净导的能量为：和()Tdxdydzxx()Tdxdydzyy()Tdxdydzzz6-3能量方程6-3-3控制体内总能t随时间的变化率控制体内总能量随时间的变化率为能量守恒方程(6-3-5)dW将在后面详细讨论。引入连续性方程，上式整理为(6-3-6)也可以将总能量分为热力学能和动能．即(6-3-7)()edEdxdydz()()()()()()()ueveweTTTdxdydzdxdydzdWxyzxxyyzzedxdydz()()()DeTTTdxdydzdxdydzdWDxxyyzz12eU222（u+v+w）6-3能量方程6-3-4界面上作用力对流体作的功作用力由表面力(粘性力和静压力)和体积力组成。x方向的净功为类似地，y、z方向作用力的净功为三项之和为总功dW。xpFudxdydzxyzxyxxxzx（u）（u）（u）（u）ypvFvdxdydzxyzyxyyyzy（v）（v）（w）（）zpwFwdxdydzxyzzyzzyxz（w）（w）（w）（）6-3能量方程dW减去x、y和z方向的动量方程分别乘以u、v、w和dxdydz的积，可以得到(6-3-8)定义上式等号右边方括号内各项为ηφ，则方程简化为(6-3-9)2221()2()()()()xxyxzxxyyyzyxzyzzzDdWuvwdxdydzDuuuvvv2221()()2DuvwdWuvwdxdydzdxdydzpdxdydzDxyz6-3能量方程即，体积力和表面力所作的功等于流体动能的变化、体积变形时压力作的功和耗散ηφ之和。整理可得(6-3-10)ηφ称为能量耗散函数．它是单位时间作用在控制体上的(法向和切向)粘性力由于摩擦而作的功转变为热能的部分，可以表示(6-3-11)对于不可压缩流体，divV=0，有关项可以略去。低速流动时，耗散项很小，可以不计。能量方程也可以通过焓的形式变换，得到温度形式的能量方程。热力学定义焓为(6-3-12)()()()()DUTTTuvwpDxxyyzzxyz22222222()()()()3vwuvuwvwyzyxzxzyy222uuvw（）（）（）xxzphU6-3能量方程(6-3-13)焓是热力学状态函数，可以写为h=h(T,p)。则(6-3-14)由热力学微分关系式，得(6-3-15)定义体胀系数，得到21DhDUDppDDDDD()()()pTpThhhdhdTdpcdTdpTpp1()1()TphTpT1()vpT6-3能量方程(6-3-16)将式(6-3-13)、(6-3-16)代入式(6-3-10)，经整理得到能量方程(6-3-17)对于理想气体，，上式简化为1(1)pvdhcdTTdp()()()pvDTTTTDpcTDxxyyzzD1vT()()()pDTTTTDpcDxxyyzzD6-3能量方程对于不可压缩流体，αv=0，若忽略耗散函数，式(6-3-17)变为：其向量形式为(6-3-20)热物性是常数时，可以写为(6-3-21)()()()TTTxxyyzzpDTcD（T）2pDTcTD6-4熵方程与连续性方程的推导类似，可以得到控制体的熵方程(6-4-1)式中：s是比墒；divs是单位时间控制体内的熵流；是熵产。对于可逆过程，由热力学知(6-4-2)'DsdivssD's1()TDsDUpd6-4熵方程实际热力过程都是不平衡过程，但分析是基于局部热力学平衡假设，式(6-4-2)仍然适用。将式(6-3-10)代上式，得到(6-4-3)因为得到(6-4-4)DsdivqTD221()qTdivdivqTTT22()()DsqTdivDTTT6-5方程的封闭与求解方法6-5方程的封闭与求解方法6-6数量级分析以一维非稳态导热为例说明数量级分析。假设厚度为2δ的平板，温度为t0，放入温度为t∞的流体中，若流体与固体的换热很好，固体表而温度立刻达到流体温度t∞，试估计平板中心感受到外部影响所需的时间。6-6数量级分析考虑平板的对称性，只需研究平板的一半，即厚度为δ。能量方程如下：(6-6-l)估计各项的数量级大小。左侧(6-6-2)右侧(6-6-3)22pttcxppttcc222()ttttxxx6-6数量级分析考虑式(6-6-2)与式(6-6-3)相等，得到(6-6-4)式中，，是热扩散率。可见，通过数量级分析可以十分简单地获得渗透时间的数量级，与傅里叶分析相比，两者吻合得很好，但计算量则少得多。数量级分析的突出特点，是在众多的影响因索中可以给出主导过程特性的物理量，这一点将在以后的分析中更清楚地表明。数量级分析法则如下：(1)通常要确定数量级分析的区域空间，例如前面讨论的非稳态导热的δ，或边界层流动的δ。(2)任何方程中至少有两个数量级相等的主要控制项。2apac6-6数量级分析(3)如果两项之和c=a+b(6-6-5)中一项远大于另一项，即O(a)O(b)