2015年高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教A版必修4

第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算．(重点)2．能够用两个向量的坐标来判断向量的垂直关系．(难点)3．增强用向量法与坐标法来处理向量问题的能力．(易混点)1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝____________两个向量垂直a⊥b⇔____________x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝02.三个重要公式做一做(1)已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x＝______.解析：∵a⊥b，∴－2x＋1×(－2)＝0.∴x＝－1.答案：－1(2)若a＝(3，3)，则|a|＝______.解析：∵a＝(3，3)，∴|a|＝3＋9＝23.答案：23(3)若a＝(3,0)，b＝(－5，－5)，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－153×52＝－22.又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案：3π41．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来，本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)．(2)求两向量的夹角．(3)证明两向量垂直．2．向量垂直与向量平行坐标表示的区别已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b⇔x1y2＝x2y1；若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2.两个命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c.思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解．数量积的坐标运算解：(1)a·b＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a＋b＝(3,8)，2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a·b)·c＝17·c＝17(2,1)＝(34,17)．数量积坐标运算的方法技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a.(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2.(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解．1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝(2,4)．(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)·b＝0·b＝0.已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标．思路点拨：与向量模有关的问题解：设a的坐标为(x，y)，由题意得2x－y＝0，x2＋y2＝10，解得x＝25，y＝45或x＝－25，y＝－45，所以a＝(25，45)或a＝(－25，－45)．求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算．利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算．若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.【互动探究】本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐标．解：设a的坐标为(x，y)，由题意得x＋2y＝10，x2＋y2＝10，即x＋2y＝10，x2＋y2＝100，解得x＝10，y＝0或x＝－6，y＝8，所以a＝(10,0)或a＝(－6,8).思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解；(2)利用两向量垂直数量积为零来证明．向量的夹角与垂直问题设平面上向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α≤90°)，b＝－12，32.(1)求a与b的夹角θ.(2)求证：a＋b与a－b垂直．(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cosα＋32sinα.则cosθ＝a·b|a||b|＝－12cosα＋32sinα1×1＝－12cosα＋32sinα＝cos(120°－α)．∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°－α，即两向量的夹角为120°－α.(2)证明：∵(a＋b)·(a－b)＝cosα－12，sinα＋32·cosα＋12，sinα－32＝cosα－12cosα＋12＋sinα＋32sinα－32＝cos2α－14＋sin2α－34＝1－14－34＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．(2)利用|a|＝x2＋y2计算出这两个向量的模．(3)由公式cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22直接求出cosθ的值．(4)在[0，π]内，由cosθ的值求角θ.2．(1)(2014·湖北高考)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.(2)(2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________.解析：(1)(a＋λb)⊥(a－λb)⇒(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.(2)因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝－22＋－62＝210，又|b|＝10，向量a与b的夹角为60°，所以ab＝|a|·|b|·cos60°＝210×10×12＝10.答案：(1)±3(2)10已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．易错误区系列(十六)忽视共线情况求错取值范围【错解】∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝2，|b|＝1＋λ2，a·b＝λ－1.∵a与b的夹角α为钝角，∴cosα＝λ－12·1＋λ2＜0.解得λ＜1，∴λ的取值范围是(－∞，1)．【正解】∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝2，|b|＝1＋λ2，a·b＝λ－1.∵a，b的夹角α为钝角，∴λ－1＜0，2·1＋λ2≠1－λ.即λ＜1，λ2＋2λ＋1≠0，∴λ＜1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．【纠错提升】两向量数量积符号与它们夹角的关系(1)向量a与b的夹角为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0包含了a与b反向共线的情况．(2)向量a与b的夹角为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0包含了a与b同向共线的情况．【即时演练】本例中a与b的夹角改为锐角，试求λ的取值范围．解：∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝2，|b|＝1＋λ2，a·b＝λ－1.∵a与b的夹角为锐角，∴λ－1＞0，2·1＋λ2≠λ－1.即λ＞1，λ≠－1，解得λ＞1.∴λ的取值范围是(1，＋∞).