【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件：2.2.2

2.2.2反证法路边苦李王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.1.反证法的定义.2.反证法的一般步骤.（重点）3.运用反证法的注意事项.（难点）探究点1反证法的定义引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°.已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°.证明：假设的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，ABC则有∠A60°，∠B60°，∠C60°所以∠A+∠B+∠C180°这与相矛盾.三角形内角和等于180°所以假设不成立，所求证的结论成立.先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确.这种证明方法就是——反证法把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明.注：反证法是最常见的间接证法.一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法否定结论——推出矛盾——肯定结论即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；反证法的证明过程存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立.归谬矛盾：（1）与已知条件矛盾.（2）与假设矛盾或自相矛盾.（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.反证法的思维方法：正难则反.你能说出下列结论的反面吗?1.a⊥b2.d是正数3.a≥04.a∥ba不垂直于bd不是正数,即d≤0a＜0a不平行b万事开头难，让我们走好第一步！探究点2反证法的应用常用的互为否定的表述方式：至少有三个——最多有一个——至多有两个至少有两个原词语否定词原词语否定词等于任意的是至少有一个都是至多有一个大于至少有n个小于至多有n个对所有x,成立对任何x，不成立准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，不成立存在某x,成立不等于某个证明：因为a∥b所以经过直线a,b确定一个平面.因为,而，所以与是两个不同的平面.aa因为，所以.bb且,b例1已知直线a，b和平面,如果,且,求证:.ba,ba////aabP下面用反证法证明直线a与平面没有公共点，假设直线a与平面有公共点P，则P，即点P是直线a与b的公共点，这与a∥b矛盾，所以a∥.b.22是无理数求证例分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法.假设不是无理数，那么它就是有理数.我们知道，任一有理数都可以写成形如（m,n互质，m∈Z,n∈N*)的形式.下面我们看看能否由此推出矛盾.2nm证明：假设不是无理数，那么它就是有理数.2于是，存在互质的正整数m,n使得，从而有nm2,2nm22因此m=2n,为数设数从所以m偶.于是可m=2k(k是正整)，而有,2422nk22即n=2k,为数这质所以n也偶.与m,n互矛盾！设错误从无数由上述矛盾可知假，而2是理.反证法的一般步骤先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理得出矛盾否定假设肯定原命题分清条件和结论【总结提升】宜用反证法证明的题型（1）以否定性判断作为结论的命题.（2）某些定理的逆命题.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题.（4）关于“唯一性”结论的命题.（8）涉及各种“无限”结论的命题等.（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（6）一些不等量命题的证明.（5）解决整除性问题.1.“a＜b”的反面应是（）A.a≠b或a＞bB.a＞bC.a=bD.a=b或a＞b2.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应假设____________.D三角形中有两个或三个角是直角3.否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（）A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数D4.如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角.证明：假设结论不成立,则∠B是直角或钝角.当∠B是直角时，则∠B+∠C=180°，这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；当∠B是钝角时，则∠B+∠C＞180°，这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；综上所述,假设不成立.所以∠B一定是锐角.分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.5.A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A,B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？1.反证法的一般步骤:假设命题不成立引出矛盾假设不成立求证的命题正确假设归谬结论从假设出发得出结论与假设、已知、定义、定理、公理或者事实矛盾等2.用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏.（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性.（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.沟潭之水，凝滞沉闷，飞瀑之流，奋迅高亢——同是为水，性却异，前者满足安逸，后者进取不已.