石油大学数学物理方程2012-2013-2试卷(A)答案

2012—2013学年第二学期《数学物理方法》试卷专业班级姓名学号开课系室计算数学系考试日期2013年6月9日页号一二三四五六七总分满分24101512151212100得分阅卷人注意事项1.请按规定要求答题，草稿纸见附页；2.试卷本请勿撕开，否则作废；3.本试卷正文共七页，包括七道大题。Ａ卷第1页共8页2012-2013学年第二学期《数学物理方法》试卷A答案一、填空题（每空4分，共计24分）请将正确答案填在题后相应的横线上.1、偏微分方程323sin0uuxtuttx属于三阶线性非齐次方程（阶数、线性、齐次性）.2、用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题()()0,02,(0)(2)0XxXxxXX的解是221,2,...()sin2nnnnnnXxBx.3、定解问题22222200,,0|,|0tttuuaxttxuxxux的解为222(,)uxtxxat.4、设3R是以光滑曲面为边界的有界区域，函数21,()()uvCC，则第二格林公式为()vuuvvudVuvdSnn.5、设3R为有界区域，其边界为分片光滑闭曲面，则如下定解问题上在内在,|,0222222xnuzuyuxu有解的必要条件是0xdS.6、已知函数cosx的Laplace变换为2cos1pLxp，则sinLx211p.二、解答题（共2小题，每小题5分，共计10分）.第2页共8页1、设长为l的均匀细杆，侧面绝热，两端点的坐标为0,xxl.在端点0x处保持温度为0u，而在xl处杆是绝热的.已知初始温度分布为()x，试写出此问题的定解问题.2200,0,00,0,0(),0.xxxltuuxlttxuutuxxl2、将下面定解问题22020,02,00,1,00,02.xxtuuxxttxuutux化成可直接用分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件的定解问题（无需求出解的具体形式）.解：令(,)(,)()uxtVxtWx，如果()Wx满足下面条件：()0(0)0,(2)1WxxWW，则关于(,)Vxt的定解问题为齐次方程齐次边界条件的。解得：3()6xxWx---------------------------------------------------------2分关于(,)Vxt的定解问题为：220230,02,00,1,0(),02.6xxtVVxttxVVtxxVWxx--------------------------------3分三、计算题（本题15分）用分离变量法求解如下定解问题：第3页共8页22222000,0,00,02,0,0.xxxxtttuuaxttxuutuxux第一步：分离变量--------------------------------------------------------------------5分设)()(),(tTxXtxu，代入方程可得''''''2''2()()()()()()()()XxTxXxTtaXxTtXxaTx，其中为常数。将)()(),(tTxXtxu代入边界条件得,0)()()()0(''tTlXtTX从而可得特征值问题''''()()0(0)()0XxXxXX第二步：求解特征值问题-----------------------------------------------------5分1)若0，方程的通解形式为：xxBeAexX)(由定解条件知0,0BA，从而0)(xX，不符合要求。2)若0，方程的通解形式为：BAxxX)(由边界条件知,0A，从而BxX)(。3)若0，方程的通解形式为：xBxAxXsincos)(代入边界条件得20,0,1,2,...,sin0,BBnnA从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数2(),0,1,2,3,...()cos,0,1,2,3,...nnnnnXxAnxn将每特征值n代入函数)(tT满足的方程可得出相应的解第4页共8页000cossin,1,2,...nnnTtCDtTtCnatDnatn第三步：叠加，确定叠加系数----------------------------------------------5分0001(,)(,)(cossin)cosnnnnnuxtuxtCDtCnatDnatnx由初始条件得：0101cos2cos0nnnnCCnxxDDnanx020,0,1,2,242cos110,0,1,2,3nnnCnCxnxdxnDn故原方程的解为214(,)11coscosnnuxtnatnxn四、计算题（本题12分）设,0xt，用行波法求解下列初值问题：第5页共8页222222003203,0ttuuutxtxuuxt.（一）、求特征线，做特征变换：-----------------------------6分问题中方程对应的特征方程为：22320dxdtdxdt则可得特征线为：13xtC以及2xtC做特征变换3xtxt则原方程可化为：0u（二）、积分求“通解”----------------------------------------------------------------2分12()()uff也即12(3)()ufxtfxt（三）、由定解条件，确定未知函数-------------------------------------------------------4分由定解条件：21212(3)()3(3)()0fxfxxfxfx解得：21223()4433()44xfxCfxxC所以，221213(,)(3)()(3)()44uxyfxtfxtxtxt第6页共8页五、（本题15分）用Green函数法求解边值问题：22222220,2,,,|,,,.yuuuyxzxyzuxzxz解：（一）、用电像法求格林函数9分在2y的空间0000(,,)Mxyz上放一正单位点电荷，0M在边界上产生的电位为0214MMyr。0M关于边界2y的对称点记作1M，在1M处放置电量为q负电荷，其在边界上的电位为124MMyqr。a)1M的坐标为1000(,4,)Mxyzb)为了使边界2x上的电位为零，也即0122144MMMMyyqrr，由于0122||MMyMMyrr，所以1qc)由于114MMr在2y内调和，在2y上具有连续的一阶偏导数，则得格林函数：010111,4MMMMGMMrr22222200000011144xxyyzzxxyyzz（二）、对格林函数求法向导数3分032222220002122yyyGGnyxxyzz（三）、求解3分0032222200021,,22xyGuMyzdsyzdydznxxyzz第7页共8页六、计算题（本题12分）用积分变换法求解下面问题（提示：）：221203,0,1|1,0|,1yxuxxyxyuxuyy.解：第一步：通过Laplace变换将原问题化为常微分方程定解问题------------------6分由题意知，需取关于时间x取拉普拉斯变换，记(,)[(,)]UpyLuxy，对原问题取拉普拉斯变换可得3((,)(0,))231,1dpUpyuydypUpp第二步：解此常微分方程定解问题---------------------------------------------------4分上常微分方程的通解为246,yyUpyCpp再由定解条件可得46Cp，24466,yyUpyppp第三步：取Laplace逆变换得原定解问题的解-----------------------------------------2分233,uxyxyxyx七、计算题（本题12分）计算下面定解问题：第8页共8页2220100sin,01,00,00,0.xxtttuuaxxttxuutuuxl解：步骤一特征函数系1sinnnx----------------------------------------------------------------------2分在特征函数系下展开：11(,)()sin,sinsinnnnnuxtvtnxxfnx其中1,10,1nnfn则：2111sin()()sinsinnnnnnnvnxnavtnxfnx，--------------------------4分步骤二得到常微分方程并进行求解即得：2()()()nnnvtnavtf又由初始条件得：(0)0nv解得：1n时，()0nvt，1n时，2()121()(1)()atvtea---------------------------------------------4分步骤三问题的最终解所以，2()121(,)()sin(1)sin()atuxtvtxexa----------------------------------2分