组合数学参考答案(卢开澄第四版)

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11.1题从{1,2,……50}中找两个数{a,b},使其满足(1)|a-b|=5;(2)|a-b|5;解:(1):由|a-b|=5a-b=5或者a-b=-5,由列举法得出,当a-b=5时,两数的序列为(6,1)(7,2)……(50,45),共有45对。当a-b=-5时,两数的序列为(1,6),(2,7)……(45,50)也有45对。所以这样的序列有90对。(2):由题意知,|a-b|5|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0;由上题知当|a-b|=5时有90对序列。当|a-b|=1时两数的序列有(1,2),(3,4),(2,1)(1,2)…(49,50),(50,49)这样的序列有49*2=98对。当此类推当|a-b|=2,序列有48*2=96对,当|a-b|=3时,序列有47*2=94对,当|a-b|=4时,序列有46*2=92对,当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题5个女生,7个男生进行排列,(a)若女生在一起有多少种不同的排列?(b)女生两两不相邻有多少种不同的排列?(c)两男生A和B之间正好有3个女生的排列是多少?解:(a)可将5个女生看作一个单位,共八个单位进行全排列得到排列数为:8!×5!,(b)用x表示男生,y表示空缺,先将男生放置好,共有8个空缺,YXYXYXYXYXYXYXY在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数:C(8,5)×7!×5!(c)先取两个男生和3个女生做排列,情况如下:6.若A,B之间存在0个男生,A,B之间共有3个人,所有的排列应为P6=C(5,3)*3!*8!*21.若A,B之间存在1个男生,A,B之间共有4个人,所有的排列应为P1=C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*22.若A,B之间存在2个男生,A,B之间共有5个人,所有的排列应为P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*23.若A,B之间存在3个男生,A,B之间共有6个人,所有的排列应为P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*24.若A,B之间存在4个男生,A,B之间共有7个人,所有的排列应为P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*25.若A,B之间存在5个男生,A,B之间共有8个人,所有的排列应为P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。1.3题m个男生,n个女生,排成一行,其中m,n都是正整数,若(a)男生不相邻)1(nm;(b)n个女生形成一个整体;(c)男生A和女生B排在一起;分别讨论有多少种方案。解:(a)可以考虑插空的方法。n个女生先排成一排,形成n+1个空。因为1nm正好m个男生可以插在n+1个空中,形成不相邻的关系。则男生不相邻的排列个数为ppnmnn1(b)n个女生形成一个整体有n!种可能,把它看作一个整体和m个男生排在一起,则排列数有(m+1)!种可能。因此,共有)!1(!mn种可能。(c)男生A和女生B排在一起,因为男生和女生可以交换位置,因此有2!种可能,A、B组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)!(这里实际上是m+n-2个学生和AB的组合形成的)种可能。共有组合数为)!1(!2nm1.4题26个英文字母进行排列,求x和y之间有5个字母的排列数解:C(24,5)*13!1.5题求3000到8000之间的奇整数的数目,而且没有相同的数字。解:根据题意,千位可以从3,4,5,7,6中选取,个位可以从1,3,5,7,9中选取;因此2*5*8*7+3*4*8*7=12321.6题计算,1·1!+2·2!+3·3!+。。。+n·n!解:由序数法公式可知1!+1=2!2·2!+1·1!+1=3!3·3!+2·2!+1·1!+1=4!n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1=(n+1)!所以1·1!+2·2!+3·3!+。。。+n·n!=(n+1)!-11.7题试证:)2()2)(1(nnn被2n除尽。证明:因!)!12(!2)!2(nnnn!)!12(2!)!2(2!)2()2)(1(!2)2()2)(1(nnnnnnnnnnnnnn因为(2n-1)!!是整数所以)2()2)(1(nnn能被2n除尽。21.8题求4010和3020的公因数数目。解:因为1030404040405*5*25*2103020403060305*2*25*220它们最大公因子为30405*2转化为求最大公因子能除尽的整数个数,能除尽它的整数是300,400,5*2baba根据乘法法则,能除尽它的数个数为41*31=12711.9题试证2n的正除数的数目是奇数。证明:设有20,annbn,则一定有表达式2nab,则可知符合范围的a和b必成对出现,所以为偶数。又当a=b=n时,表达式2n=ab仍然成立。所以2n的正除数的数目是“偶数1”为奇数。1.10题证任一正整数n可唯一地表成如下形式:,0≤ai≤i,i=1,2,…。证:对n用归纳法。先证可表示性:当n=0,1时,命题成立。假设对小于n的非负整数,命题成立。对于n,设k!≤n<(k+1)!,即0≤n-k!<k·k!由假设对n-k!,命题成立,设,其中ak≤k-1,,命题成立。再证表示的唯一性:设,不妨设aj>bj,令j=max{i|ai≠bi}aj·j!+aj-1·(j-1)!+…+a1·1!=bj·j!+bj-1·(j-1)!+…+b1·1!,!)(!!!!)(!)(iabiabiijiabjbaiiiiiijj矛盾,命题成立。1.11题证明nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1),并给予组合解释.证:(1)!(1)!(1)!(1,)(1)(,1)!(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!nrnrnnCnrnrCnrrnrrrnrrnr所以左边等于右边组合意义:等式左边:n个不同的球,先任取出1个,再从余下的n-1个中取r个;等式右边:n个不同球中任意取出r+1个,并指定其中任意一个为第一个。所以两种方案数相同。1.12题证明等式:112),(nnknknkC证明:11110111(1,0)(1,1)(1,1)211nnnnkksnnnnnnnCnCnCnnnkksL等式左边右边1.13题有N个不同的整数,从中间取出两组来,要求第1组的最小数大于另一组的最大数。解题思路:(取法由大到小)第1步:从N个数由大到小取一个数做为第一组,其它N-1个数为第二组,组合数为:c(n,1)*{c(n-1,1)+c(n-1,2)-…+c(n-1,n-1)}第2步:从N个数由大到小取两个数做为第一组,其它N-2个数为第二组,组合数为:c(n,2)*{c(n-2,1)+c(n-2,2)-…+c(n-2,n-2)}…第n-2步:从N个数由大到小取n-2个数做为第一组,其它2个数为第二组,组合数为:c(n,n-2)*{c(2,1)}第n-1步:从N个数由大到小取n-1个数做为第一组,其它1个数为第二组,组合数为:c(n,n-1)*{c(1,1}总的组合数为:(,1){(1,1)(1,2)(1,1)}(,2){(2,1)(2,2)(2,2)}(,2){(2,1)(,1)(1,1)}CnCnCnCnnCnCnCnCnnCnnCCnnC31.14题6个引擎分列两排,要求引擎的点火顺序两排交错开来,试求从特定一引擎开始有多少种方案?解:第1步从特定引擎对面的3个中取1个有C(3,1)种取法,第2步从特定引擎一边的2个中取1个有C(2,1)种取法,第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法,剩下的每边1个取法固定。所以共有C(3,1)•C(2,1)•C(2,1)=12种方案。1.15题求1至1000000中0出现的次数。解:当第一位为0时,后面6位组成的数可以从1-100000,共100000个0;当第二位为0时,当第一位取0-9时,后面5位可以取1-9999,此外当第一位取0时,后面5位还可以取为10000,这样共有9999*10+1=99991个0;同理第三位为0时,共有99901个0;第四位为0时,共有99001个0;第五位为0时,共有90001个0;第六位为0时,只有1个0;这样总共的0数为:100000+99991+99901+99001+90001+1=488895。1.16题n个相同的球放到r个不同的盒子里,且每个盒子里不空的放法。解:如果用“O”表示球,用“|”表示分界线,就相当于用r-1个“|”把n个“O”分成r份,要求是每份至少有一个球。如下图所示:00|00000000|00000000|00000|000000……对于第一个分界线,它有n-1种选择,对于第二个分界线只有n-2个选择,(因为分界线不能相临,如果相临它们之间就没有了球,这不合要求),依次第r-1个分界线只有n-(r-1)种选择。但是这样的分法中存在重复,重复度为(r-1)!,所以总得放法为:(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1)/(r-1)!=C(n-1,r-1)。1.18题8个盒子排成一列,5个有标志的球放到盒子中,每盒最多放一个球,要求空盒不相邻,问有多少种排列方案?解:要求空盒不相邻,这样球的位置共有8种。而不同标志的球的排列有!555p。所以共有8*5!种排列。8种排列如下两类。因为要求空盒不相邻,途中1代表球a)1111b)1111在a)中剩下的一个球有四种位置,b)中剩下的一个球也有四种位置,两者合起来一共有8种1.17题n和r都是正整数,而且nr,试证下列等式:11111111111()()(1)(),()()!()nnnnnnrrrrrrnnnnnnrrrrrrrrnanbnrcrnnrdrerrpppppppppppppL解:(a)ppnrnrrnnrnnnn)!(!)!()!1(11等式成立。(b)ppnrnrrnnrnnrnrn)!(!)!1(!)1()1(1等式成立。(c)ppnrnrrnnrnnrnnrnn)!(!)!1()!1(1等式成立。(d)11!!!(1)!(1)!!!(1)!()!(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!nnnrrrnnnnrnnnrrnnrrrnrnrnrnrnrnrppp(e)利用(d)的结论可证明本题。1111111112111111112111111!()nnrrnnrrrrrrrrrrrrnnrrrrrrrrrnnnrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrpppppppppppppppppppLLLL1.19题n+m位由m个0,n个1组成的符号串,其中n≤m+1,试问不存在两个1相邻的符号串的数目。解:m个0进行排列,留出m+1个空挡,任选n个空挡放1,共有C(m+1,n)种方案.1.21题一个盒子里有7个无区别的白球,5个无区别的黑球,每次从中随机取走一个球,已知前面取走6个,其中3个是白的,试问取第6个球是白球的概率。解:C(6,2)*C(5,2)*C(5,3)/C(5,3)C(7,3)C(6,3)=3/1441.20题甲单位有10个男同志,4个女同志,乙单位有15个男同志,10个女同志,由他们产生一个7人的代表团,要求其中甲单位占4人,而且7人中男同志占5人,试问有多少中方案?解:1.甲单位出4个男同志,乙单位出1个男同志,从乙单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