3.3.1函数的单调性与导数_上课用

3.3.1函数的单调性与导数（一）1、一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，有问题1：函数单调性的定义怎样描述的?(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.(2)作差f(x1)－f(x2)(作商)2．用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2∈D，且x1x2.(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与０比较)(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)结论一.知识回顾：练习：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.定义法单增区间：(２，+∞).单减区间：(－∞，２).图象法二.思考与探究：思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系二.思考与探究：2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.思考：这种情况是否具有一般性呢？二.思考与探究：xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3xy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.结论：在定义域内的某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy0)(xf)(xfy如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数二.思考与探究：.)(),())(,()),(,()()(2122111212在这个区间内的单调性示函数平均变化率可以近似表的长度很小时，当区间数的单调性定义可知，两点直线的斜率，由函的几何意义是经过率探究与思考：平均变化xfyxxxfxxfxxxxfxf一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.0)(xf0)(xf如果在某个区间内恒有，那么f(x)为常数函数.'()0fx三.结论：函数的单调性与导数间的关系即导函数的正负性决定原函数的增减性则函数f(x)图象的大致形状是(）。()yfxxyo14xyo14xyo14xyo14ABCD()yfx()yfx()yfxD注：导函数f’(x)的____与原函数f(x)的增减性有关正负例1.已知导函数的下列信息:当1x4时，当x4,或x1时，当x=4,或x=1时，)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf四.例题讲解解：由题意可知当1x4时，f(x)为增函数当x4,或x1时，f(x)为减函数当x=4,或x=1时，两点为“临界点”xy练习1.已知函数y=f(x)的图象如图所示，试画出其导函数f'(x)图象的大致形状。acbO四.例题讲解练习2.设f´(x)是函数f(x)的导函数，y=f´(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo12ABCDD四.例题讲解练习3.函数y=f(x)的图象如下图所示,则的图象可能的是()'()yfx四.例题讲解练习4.以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）A．①、②B．①、③C．③、④D．①、④四.例题讲解例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:;32)()2(;3)()1(23xxxfxxxf);,0(,sin)()3(xxxxf.12432)()4(23xxxxf四.例题讲解思路点拨：求可导函数f(x)单调区间的步骤练习3.Pg93练习1四.例题讲解2.利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f’(x)0或f’(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间。3.如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”“或”“且”连接，而只能用“逗号”“和”“及”字隔开．4.在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，即解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．题后感悟：1.当遇到三次或三次以上的函数,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法.四.例题讲解例3.求证函数在（0,2）内是减函数762)(23xxxf思路点拨：利用导数判断或证明可导函数f(x)在（a,b）内的单调性的步骤：(1)求导——求导数f’(x)(2定号——判断f’(x)在（a,b）内的符号(3)下结论——作出单调性结论题后感悟：1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f’(x)0(f’(x)0)在给定区间上恒成立。2.如果出现个别点使f’(x)=0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性。例1：求函数f(x)＝2x2－lnx的单调区间．【错解】f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，由f′(x)＞0得x＞12或－12＜x＜0由f′(x)＜0得x＜－12或0＜x＜12∴函数f(x)的增区间为－12，0∪12，＋∞，减区间为－∞，－12∪0，12.【错因】求单调区间时，先确定定义域．本题函数定义域为(0，＋∞)，本解答由于没有确定定义域导致出现－∞，－12和－12，0这样的单调区间．单调区间不能用并集表示．【正解】由题设函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，由f′(x)＞0得x＞12，由f′(x)＜0得0＜x＜12，∴函数f(x)＝2x2－lnx的单调增区间为12，＋∞，减区间为0，12.例4.如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.五.导数与单调性的关系在图象上的应用例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢。结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？结论：一般地，如果一个函数在某一个范内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图像就“平缓”一些。如图所示函数y=f(x）在(0,b)或(a,0)内的图像“陡峭”，在(b,+∞)或(-∞,a)内的图像“平缓”。yxobay=f(x)练习4如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90o)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是（）。六.课堂小结说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.2.证明可导函数f(x)在（a,b）内的单调性的步骤：(1)求f’(x)(2)确认f’(x)在（a,b）内的符号(3)作出结论)(xf(1)求出函数f(x)的定义域A；(2)求出函f(x)数的导数；(3)不等式组的解集为f(x)的单调增区间；()0xAfx(4)不等式组的解集为f(x)的单调减区间；()0xAfx1.求函数的单调区间的一般步骤:函数y=f(x)在给定区间G上，当任意x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)一.知识回顾：下图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数的图象，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth5.68.9)()('ttvthaabbttvhOO(1)(2)二.思考与探究：①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,.0)()(thtv②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,.0)()(thtv思考：这种情况是否具有一般性呢？