三角恒等变换与解三角形-高考理科数学课时分层训练题练习题

（八）三角恒等变换与解三角形[A级——“12＋4”保分小题提速练]1．(2017·陕西模拟)设角θ的终边过点(2,3)，则tanθ－π4＝()A.15B．－15C．5D．－5解析：选A由于角θ的终边过点(2,3)，因此tanθ＝32，故tanθ－π4＝tanθ－11＋tanθ＝32－11＋32＝15.2．(2018届高三·广西三市联考)已知x∈(0，π)，且cos2x－π2＝sin2x，则tanx－π4＝()A.13B．－13C．3D．－3解析：选A由cos2x－π2＝sin2x得sin2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tanx＝2，∴tanx－π4＝tanx－11＋tanx＝13.3．(2017·宝鸡模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A＋B)＝13，a＝3，c＝4，则sinA＝()A.23B.14C.34D.16解析：选B∵asinA＝csinC，即3sinA＝4sinC，又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝13，∴sinA＝14.4．(2017·惠州模拟)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为()A.34B．1C.32D．2解析：选Cy＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1.设t＝sinx(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2t－122＋32，∴当t＝12时，函数取得最大值32.5．(2017·成都模拟)已知α为第二象限角，且sin2α＝－2425，则cosα－sinα的值为()A.75B．－75C.15D．－15解析：选B因为α为第二象限角，所以cosα－sinα＜0，cosα－sinα＝－cosα－sinα2＝－1－sin2α＝－75.6．(2017·长沙模拟)△ABC中，C＝2π3，AB＝3，则△ABC的周长为()A．6sinA＋π3＋3B．6sinA＋π6＋3C．23sinA＋π3＋3D．23sinA＋π6＋3解析：选C设△ABC的外接圆半径为R，则2R＝3sin2π3＝23，于是BC＝2RsinA＝23sinA，AC＝2RsinB＝23sinπ3－A，于是△ABC的周长为23sinA＋sinπ3－A＋3＝23sinA＋π3＋3.7．(2017·福州模拟)已知m＝tanα＋β＋γtanα－β＋γ，若sin[2(α＋γ)]＝3sin2β，则m＝()A.12B.34C.32D．2解析：选D设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，因为sin[2(α＋γ)]＝3sin2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sinAcosB＋cosAsinB＝3(sinAcosB－cosAsinB)，即2cosAsinB＝sinAcosB，所以tanA＝2tanB，所以m＝tanAtanB＝2.8．(2017·云南模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝π2，a＝6，sin2B＝2sinAsinC，则△ABC的面积S＝()A.32B．3C.6D．6解析：选B由sin2B＝2sinAsinC及正弦定理，得b2＝2ac.①又B＝π2，所以a2＋c2＝b2.②联立①②解得a＝c＝6，所以S＝12×6×6＝3.9．(2018届高三·合肥摸底)已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈－π4，π4.若f(x1)＜f(x2)，则一定有()A．x1＜x2B．x1＞x2C．x21＜x22D．x21＞x22解析：选Df(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝14cos4x＋34.因为4x∈[－π，π]，所以函数f(x)是偶函数，且在0，π4上单调递减，由f(x1)＜f(x2)，可得f(|x1|)＜f(|x2|)，所以|x1|＞|x2|，即x21＞x22.10．(2018届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()A.34B.43C．－43D．－34解析：选C因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面积公式与余弦定理，得absinC＝2abcosC＋2ab，即sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)2＝4，sin2C－4sinCcosC＋4cos2Csin2C＋cos2C＝4，所以tan2C－4tanC＋4tan2C＋1＝4，解得tanC＝－43或tanC＝0(舍去)．11．(2017·贵阳监测)已知sinπ3＋α＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值是()A．－235B.235C.45D．－45解析：选D∵sinπ3＋α＋sinα＝435，∴sinπ3cosα＋cosπ3sinα＋sinα＝435，∴32sinα＋32cosα＝435，即32sinα＋12cosα＝sinα＋π6＝45，故sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.12．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为()A.0，π2B.π4，π2C.π6，π3D.π3，π2解析：选D由题意得sin2Asin2B＋sin2C，再由正弦定理得a2b2＋c2，即b2＋c2－a20.则cosA＝b2＋c2－a22bc0，∵0Aπ，∴0Aπ2.又a为最大边，∴Aπ3.因此得角A的取值范围是π3，π2.13．(2017·南京模拟)若sinπ4－α＝13，则cosπ4＋α＝________.解析：因为π4－α＋π4＋α＝π2，所以cosπ4＋α＝cosπ2－π4－α＝sinπ4－α＝13.答案：1314．(2017·长沙模拟)化简：2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝________.解析：2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝2sinα＋2sinαcosα121＋cosα＝4sinα1＋cosα1＋cosα＝4sinα.答案：4sinα15．(2018届高三·湖北七校联考)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，a＝2b，则tanA＝________.解析：c2＝a2＋b2－2abcosC＝4b2＋b2－2×2b×b×－12＝7b2，∴c＝7b，cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋7b2－4b22×b×7b＝27，∴sinA＝1－cos2A＝1－47＝37，∴tanA＝sinAcosA＝32.答案：3216.(2018届高三·广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°.在△ABD中，由正弦定理可得50sin30°＝DBsin15°，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)．在△BCD中，∠DCB＝90°＋θ，所以25sin45°＝2523－1sin90°＋θ，即25sin45°＝2523－1cosθ，解得cosθ＝3－1.答案：3－1[B级——中档小题强化练]1．(2017·广州模拟)已知tanθ＝2，且θ∈0，π2，则cos2θ＝()A.45B.35C．－35D．－45解析：选C法一：由tanθ＝2，且θ∈0，π2，可得sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，可得cos2θ＝15，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝2×15－1＝－35.法二：因为tanθ＝2，且θ∈0，π2，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝1－41＋4＝－35.2．在△ABC中，若tanAtanB＝a2b2，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰三角形D．不能确定解析：选B由已知并结合正弦定理得，sinAcosA·cosBsinB＝sin2Asin2B，即cosBcosA＝sinAsinB，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.3．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是()A.π6，2π3B.π6，π4C.0，π6D.π6，π3解析：选C在△ABC中，由正弦定理化简已知的等式得sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA，所以sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝4a2＋c2－a24ac＝3a2＋c24ac≥23ac4ac＝32(当且仅当c2＝3a2，即c＝3a时取等号)，因为A为△ABC的内角，且y＝cosx在(0，π)上是减函数，所以0＜A≤π6，故角A的取值范围是0，π6.4．(2017·云南统一检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝bcosC＋csinB，且△ABC的面积为1＋2，则b的最小值为()A．2B．3C.2D.3解析：选A由a＝bcosC＋csinB及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，即sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，得sinCcosB＝sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB＝1.因为B∈(0，π)，所以B＝π4.由S△ABC＝12acsinB＝1＋2，得ac＝22＋4.又b2＝a2＋c2－2accosB≥2ac－2ac＝(2－2)(4＋22)＝4，当且仅当a＝c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2，故选A.5．(2018届高三·皖南八校联考)若α∈0，π2，cosπ4－α＝22cos2α，则sin2α＝________.解析：由已知得22(cosα＋sinα)＝22(cosα－sinα)·(cosα＋sinα)，所以cosα＋sinα＝0或cosα－sinα＝14，由cosα＋sinα＝0得tanα＝－1，因为α∈0，π2，所以cosα＋sinα＝0不满足条件；由cosα－sinα＝14，两边平方得1－sin2α＝116，所以sin2α＝1516.答案：15166．已知△ABC中，AB＋2AC＝6，BC＝4，D为BC的中点，则当AD最小时，△ABC的面积为________．解析：AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，且AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即AC2＝AD2＋22－4AD·cos∠ADC，且(6－2AC)2＝AD2＋22－4AD·cos∠ADB，∵∠ADB＝π－∠ADC，∴AC2＋(6－2AC)2＝2AD2＋8，∴AD2＝3AC2－122AC＋282＝3AC－222＋42，当AC＝22时，AD取最小值2，此时cos∠ACB＝8＋4－282＝528，∴sin∠ACB＝148，∴△ABC的面积S＝12AC·BC·sin∠ACB＝7.答案：7[C级——压轴小题突破练]1．在外接圆半径为12的△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，则b＋c的最大值是()A．1B.12C．3D.32解析：选A根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝